문제 1
아래 직각삼각형에서 $x$와 $H$를 구하세요.
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$$ x = \frac{10}{\tan(51^\circ)} = 8.1 \; \text{ (유효숫자 2개)} $$
$$ H = \frac{10}{\sin(51^\circ)} = 13 \; \text{ (유효숫자 2개) } $$
문제 2
넓이가 400인 아래 직각삼각형의 모든 변의 길이를 구하세요.
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넓이는 다음과 같이 주어집니다:
$$ \frac{1}{2}(2x)(x) = 400 $$
$x$에 대해 풉니다:
$$ x = 20, \quad 2x = 40 $$
피타고라스의 정리를 사용합니다:
$$ (2x)^2 + (x)^2 = H^2 $$
$H$에 대해 풉니다:
$$ H = x \sqrt{5} = 20 \sqrt{5} $$
문제 3
$BH$는 $AC$에 수직입니다. $BC$의 길이인 $x$를 구하세요.
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$BH$가 $AC$에 수직이라는 것은 삼각형 $\triangle ABH$와 $\triangle HBC$가 직각삼각형임을 의미합니다. 따라서:
$$ \tan(39^\circ) = \frac{11}{AH} \quad \Rightarrow \quad AH = \frac{11}{\tan(39^\circ)} $$
$$ HC = 19 - AH = 19 - \frac{11}{\tan(39^\circ)} $$
삼각형 $\triangle HBC$에 피타고라스의 정리를 적용합니다:
$$ 11^2 + HC^2 = x^2 $$
$HC$를 대입하고 $x$에 대해 풉니다:
$$ x = \sqrt{11^2 + \left(19 - \frac{11}{\tan(39^\circ)}\right)^2} $$
$$ x \approx 12.3 \quad \text{(유효숫자 3자리로 반올림)} $$
문제 4
ABC는 $A$가 직각인 직각삼각형입니다. $DC$의 길이인 $x$를 구하세요.
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$\angle A$가 직각이므로 삼각형 $\triangle ABC$와 $\triangle ABD$ 모두 직각삼각형이며, 따라서 피타고라스의 정리를 적용할 수 있습니다:
$$ 14^2 = 10^2 + AD^2, \quad 16^2 = 10^2 + AC^2 $$
$AD$와 $AC$에 대해 풉니다:
$$ AD = \sqrt{14^2-10^2}, \quad AC = \sqrt{16^2 - 10^2} $$
또한, $x = AC - AD$입니다:
$$ x = \sqrt{16^2 - 10^2} - \sqrt{14^2 - 10^2} $$
$$ x \approx 2.69 \quad \text{(유효숫자 3자리로 반올림)} $$
문제 5
아래 그림에서 $AB$와 $CD$는 $BC$에 수직이고, 각 $\angle ACB$의 크기는 $31^\circ$입니다. 선분 $BD$의 길이를 구하세요.
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직각삼각형 $\triangle ABC$를 사용하여 식을 세웁니다:
$$ \tan(31^\circ) = \frac{6}{BC} \quad \Rightarrow \quad BC = \frac{6}{\tan(31^\circ)} $$
직각삼각형 $\triangle BCD$에 피타고라스의 정리를 사용하여 식을 세웁니다:
$$ 9^2 + BC^2 = BD^2 $$
$BD$에 대해 풀고 $BC$를 대입합니다:
$$ BD = \sqrt{9^2 + \left( \frac{6}{\tan(31^\circ)} \right)^2} $$
$$ BD \approx 13.4 \quad \text{(유효숫자 3자리로 반올림)} $$
문제 6
직각삼각형의 넓이가 50입니다. 한 각이 $45^\circ$입니다. 삼각형의 변과 빗변의 길이를 구하세요.
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삼각형이 직각이고 한 각이 $45^\circ$이므로, 나머지 한 각도 $45^\circ$이며 따라서 이 삼각형은 직각이등변삼각형입니다.
한 변의 길이를 $x$, 빗변을 $H$라고 합시다.
$$ \text{넓이} = \frac{1}{2}x^2 = 50 \quad \Rightarrow \quad x = 10 $$
피타고라스의 정리를 사용합니다:
$$ x^2 + x^2 = H^2 $$
$$ \Rightarrow \quad H = 10\sqrt{2} $$
문제 7
직각삼각형 $\triangle ABC$에서 $\tan(A) = \frac{3}{4}$입니다. $\sin(A)$와 $\cos(A)$를 구하세요.
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각 $A$의 대변의 길이를 $a$, 각 $A$의 인접변의 길이를 $b$, 빗변의 길이를 $h$라고 합시다.
$$ \tan(A) = \frac{\text{대변}}{\text{인접변}} = \frac{a}{b} = \frac{3}{4} $$
$a = 3k$, $b = 4k$ (여기서 $k$는 비례 상수)라고 쓸 수 있습니다.
$h$를 구해봅시다. 피타고라스의 정리를 사용하여 다음과 같이 씁니다:
$$ h^2 = (3k)^2 + (4k)^2 $$
$$ h^2 = 9k^2 + 16k^2 = 25k^2 \quad \Rightarrow \quad h = 5k $$
$$ \sin(A) = \frac{a}{h} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}, \quad \cos(A) = \frac{b}{h} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5} $$
문제 8
각 $A = 90^\circ$인 직각삼각형 $\triangle ABC$에서 $\sin(B) = \cos(B)$를 만족하는 각 $B$와 $C$를 구하세요.
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각 $B$의 대변의 길이를 $b$, 각 $C$의 대변의 길이를 $c$, 빗변을 $h$라고 합시다.
$$ \sin(B) = \frac{b}{h}, \quad \cos(B) = \frac{c}{h} $$
$$ \sin(B) = \cos(B) \quad \Rightarrow \quad \frac{b}{h} = \frac{c}{h} \quad \Rightarrow \quad b = c $$
두 변의 길이가 같으므로 이 삼각형은 이등변삼각형이며, 각 $B$와 $C$는 각각 $45^\circ$로 서로 같습니다.
문제 9
직사각형의 세로와 가로가 각각 10cm, 5cm입니다. 대각선이 교차하는 지점에서의 각도의 크기를 구하세요.
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아래 그림은 직사각형과 대각선, 그리고 각도의 절반인 $x$가 표시된 모습을 보여줍니다.
$$ \tan(x) = \frac{5}{2.5} = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \arctan(2) $$
대각선이 이루는 더 큰 각도는 $2x$입니다:
$$ 2x = 2 \arctan(2) \approx 127^\circ \quad \text{(유효숫자 3자리)} $$
$$ \text{대각선이 이루는 더 작은 각도: } 180^\circ - 2x \approx 53^\circ $$
문제 10
부등변삼각형 ABC의 변 AB와 변 BC의 길이는 각각 12cm와 8cm입니다. 각 C의 크기는 $59^\circ$입니다. 변 AC의 길이를 구하세요.
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변 AC의 길이를 $x$라고 합시다. 제2 코사인 법칙을 사용합니다:
$$ 12^2 = 8^2 + x^2 - 2 \cdot 8 \cdot x \cdot \cos(59^\circ) $$
$x$에 대한 이차방정식을 풉니다:
$$ x = 14.0 \quad \text{및} \quad x = -5.7 $$
$x$는 음수가 될 수 없으므로 정답은 다음과 같습니다:
$$ x = 14.0 \quad \text{(소수점 아래 첫째 자리로 반올림)} $$
문제 11
높이가 200미터인 건물 꼭대기에서 두 번째 건물의 바닥을 내려다본 각(각도)은 20도입니다. 같은 지점에서 두 번째 건물의 꼭대기를 올려다본 각은 10도입니다. 두 번째 건물의 높이를 계산하세요.
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$$ \tan(20^\circ) = \frac{200}{L} \quad \Rightarrow \quad L = \frac{200}{\tan(20^\circ)} $$
$$ \tan(10^\circ) = \frac{H_2}{L} \quad \Rightarrow \quad H_2 = L \cdot \tan(10^\circ) $$
$$ = \frac{200 \cdot \tan(10^\circ)}{\tan(20^\circ)} $$
$$ \text{두 번째 건물의 높이} = 200 + H_2 = 200 + \frac{200 \cdot \tan(10^\circ)}{\tan(20^\circ)} \approx 297 \text{ 미터} $$
문제 12
카를라는 지점 P 바로 위 하늘에서 열기구를 수직으로 타고 이동하고 있습니다. 카를라는 지상에 주차된 자동차를 내려다본 각(각도)이 $30^\circ$인 것을 발견합니다. 열기구가 50미터 상승합니다. 이제 자동차를 내려다본 각은 $35^\circ$가 됩니다. 자동차에서 지점 P까지의 거리는 얼마입니까?
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지점 P 위 열기구의 초기 높이를 $h$미터라고 합시다. 상승한 후의 새로운 높이는 $h + 50$미터입니다.
자동차에서 P까지의 수평 거리는 $d$입니다 (일정하게 유지됨).
열기구에서 자동차를 바라보는 내려다본 각은 자동차에서 열기구를 올려다보는 올려다본 각과 같습니다 (엇각에 의해).
따라서 초기 위치에 대해:
$$ \tan(30^\circ) = \frac{h}{d} $$
$$ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{d} \quad \text{(since } \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \text{)} $$
따라서,
$$ h = \frac{d}{\sqrt{3}} \tag{1} $$
50미터 상승한 후의 새로운 높이는 $h + 50$이고 내려다본 각은 $35^\circ$입니다:
$$ \tan(35^\circ) = \frac{h + 50}{d} $$
따라서,
$$ h + 50 = d \cdot \tan(35^\circ) \tag{2} $$
이제 식 (1)을 식 (2)에 대입합니다:
$$ \frac{d}{\sqrt{3}} + 50 = d \cdot \tan(35^\circ) $$
$d$에 대해 정리합니다:
$$ 50 = d \cdot \tan(35^\circ) - \frac{d}{\sqrt{3}} $$
$$ 50 = d \left( \tan(35^\circ) - \frac{1}{\sqrt{3}} \right) $$
$$ d = \frac{50}{\tan(35^\circ) - \frac{1}{\sqrt{3}}} $$
수치 값을 사용합니다: $\tan(35^\circ) \approx 0.7002$ 및 $\frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.57735$:
$$ d = \frac{50}{0.7002 - 0.57735} = \frac{50}{0.12285} \approx 406.97 $$
따라서 자동차는 지점 P에서 약 $407$미터 떨어져 있습니다.
문제 13
태양광선의 올려다본 각이 $70^\circ$에서 $60^\circ$로 감소할 때 건물의 그림자가 10미터 길어진다면, 건물의 높이는 얼마입니까?
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건물의 높이를 $h$라고 합시다. 처음에 올려다본 각이 $70^\circ$일 때 그림자의 길이는 $s$입니다.
올려다본 각이 $60^\circ$로 감소하면 그림자의 길이는 $s + 10$이 됩니다.
초기 경우 ($70^\circ$ 각도):
$$ \tan(70^\circ) = \frac{h}{s} $$
따라서,
$$ s = \frac{h}{\tan(70^\circ)} \tag{1} $$
새로운 경우 ($60^\circ$ 각도):
$$ \tan(60^\circ) = \frac{h}{s + 10} $$
따라서,
$$ s + 10 = \frac{h}{\tan(60^\circ)} \tag{2} $$
이제 식 (2)에서 식 (1)을 뺍니다:
$$ (s + 10) - s = \frac{h}{\tan(60^\circ)} - \frac{h}{\tan(70^\circ)} $$
$$ 10 = h \left( \frac{1}{\tan(60^\circ)} - \frac{1}{\tan(70^\circ)} \right) $$
따라서,
$$ h = \frac{10}{ \frac{1}{\tan(60^\circ)} - \frac{1}{\tan(70^\circ)} } $$
식을 간단히 합니다:
$$ h = \frac{10}{ \cot(60^\circ) - \cot(70^\circ) } $$
숫자 값을 계산합니다:
$$ h \approx 46.86474 $$
따라서 건물의 높이는 약 $46.9$미터입니다.