상세한 공식, 정의 및 단계별 풀이
수열은 순서가 매겨진 수들의 나열입니다. 등차수열은 공차를 가지며, 등비수열은 공비를 가집니다. 급수는 수열의 항들의 합입니다.
공차 (d): \( d = a_{n} - a_{n-1} \)
일반항:
\[ a_n = a + (n-1)d \]\( n \)개 항의 합 (\( S_n \)):
\[ S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] \] \[ S_n = \frac{n}{2}(a + a_n) \]공비 (r): \( r = \frac{a_{n}}{a_{n-1}} \)
일반항:
\[ a_n = a \cdot r^{n-1} \]\( n \)개 항의 합 (\( S_n \)):
\[ S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}, \quad r \ne 1 \]무한등비급수는 공비가 \( |r| < 1 \)을 만족할 때만 유한한 합을 가집니다(수렴). \( |r| \ge 1 \)인 경우 급수는 발산하며 합이 존재하지 않습니다.
무한합 (\( S_{\infty} \)):
\[ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} \]문제 1 (등차수열): 등차수열 \( 10, 6, 2, -2, \dots \)의 15번째 항을 구하세요.
첫째항 \( a = 10 \)과 공차 \( d = 6 - 10 = -4 \)를 찾습니다.
\[ a_{15} = 10 + (15-1)(-4) \] \[ a_{15} = 10 + 14(-4) = 10 - 56 = -46 \]문제 2 (등비수열): 등비수열 \( 5, 10, 20, 40, \dots \)의 8번째 항을 구하세요.
\( a = 5 \)이고 \( r = 10/5 = 2 \)임을 찾습니다. \( a_8 \)을 구합니다:
\[ a_8 = 5 \cdot (2)^{8-1} = 5 \cdot 2^7 \] \[ a_8 = 5 \cdot 128 = 640 \]문제 3 (도전 과제): 어떤 등차수열에서 \( a_3 = 13 \)이고 \( a_9 = 37 \)입니다. 첫째항 \( a \)와 공차 \( d \)를 구하세요.
\( a_n = a + (n-1)d \)를 사용하여 두 개의 방정식을 세웁니다:
(1) \( a + 2d = 13 \)
(2) \( a + 8d = 37 \)
(2)에서 (1)을 뺍니다: \( 6d = 24 \Rightarrow d = 4 \).
\( d=4 \)를 (1)에 대입합니다: \( a + 2(4) = 13 \Rightarrow a + 8 = 13 \Rightarrow a = 5 \).
문제 4 (등차수열의 합): 처음 50개의 양의 짝수의 합을 구하세요.
수열은 \( 2, 4, 6, \dots \)이므로 \( a = 2 \), \( d = 2 \), \( n = 50 \)입니다.
\[ S_{50} = \frac{50}{2}[2(2) + (50-1)(2)] \] \[ S_{50} = 25[4 + 98] = 25[102] = 2550 \]문제 5 (등비수열의 합): 등비급수 \( 3, -6, 12, -24, \dots \)의 처음 6개 항의 합을 구하세요.
\( a = 3 \), \( r = -2 \), \( n = 6 \)임을 찾습니다:
\[ S_6 = \frac{3((-2)^6 - 1)}{-2 - 1} \] \[ S_6 = \frac{3(64 - 1)}{-3} = \frac{3(63)}{-3} = -63 \]문제 6 (도전 과제): 7의 배수인 모든 세 자리 수의 합을 구하세요.
첫 번째 배수 \( a = 105 \). 마지막 배수 \( a_n = 994 \). 공차 \( d = 7 \).
\( n \) 구하기: \( 994 = 105 + (n-1)7 \Rightarrow 889 = 7(n-1) \Rightarrow n = 128 \).
합 구하기: \[ S_{128} = \frac{128}{2}(105 + 994) = 64(1099) = 70336 \]
문제 7: 무한급수 \( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots \)의 합을 구하세요.
\( a = 1 \)이고 \( r = 0.5 \)임을 찾습니다. \( |0.5| < 1 \)이므로 이 급수는 수렴합니다:
\[ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - 0.5} = \frac{1}{0.5} = 2 \]문제 8: 어떤 무한등비급수의 합이 20이고 첫째항이 5입니다. 공비 \( r \)을 구하세요.