그래프로부터 역함수 구하기

시각적 설명과 단계별 풀이 문제

그래프에서 역함수의 값을 찾는 것은 시각적인 과정입니다. 원래 함수가 $x$를 $y$로 대응시킬 때, 역함수는 $y$를 다시 $x$로 대응시킨다는 근본적인 성질에 기반합니다.

역함수의 관계

함수 $f$와 그 역함수 $f^{-1}$에 대해, 두 관계는 다음과 같이 정의됩니다:

\[ f(a) = b \iff a = f^{-1}(b) \]

시각적 전략: $f^{-1}(b)$를 찾으려면, 기본적으로 $y$값이 $b$가 되도록 하는 $x$값을 찾는 것입니다.

풀이된 예제: 곡선 관계 $f(x)$

아래 함수 $f$의 그래프를 사용하여 다음을 구하세요:

Graph of function f
풀이 보기

a) $f^{-1}(5)$: y축에서 $y = 5$를 찾습니다. 그래프를 향해 수평으로 이동한 다음 x축으로 내려갑니다. $x = 3$임을 찾을 수 있습니다. 따라서 $f^{-1}(5) = 3$입니다.

Visual solution for f^-1(5)

b) $f^{-1}(0)$: $y = 0$일 때 그래프는 $x = 2$에 있습니다. 따라서 $f^{-1}(0) = 2$입니다.

c) $f^{-1}(-3)$: $y = -3$일 때 그래프는 $x = 1$에 있습니다. 따라서 $f^{-1}(-3) = 1$입니다.

d) $f^{-1}(-4)$: $y = -4$일 때 그래프는 $x = 0$에 있습니다. 따라서 $f^{-1}(-4) = 0$입니다.

e) $f^{-1}(-5)$: 그래프가 $y = -5$에 도달하지 않습니다. 이 값은 정의되지 않습니다.

연습 문제

문제 1: 일차 관계 $g(x)$

구하세요: $g^{-1}(6)$, $g^{-1}(0)$, $g^{-1}(-2)$, $g^{-1}(8)$.

Graph of function g
풀이 보기

a) $g^{-1}(6)$: $y = 6$일 때의 x값은 2입니다. 따라서 $g^{-1}(6) = 2$입니다.

Solution for g^-1

b) $g^{-1}(0)$: 그래프가 x축($y=0$)과 만나는 점은 $x = -1$입니다. 따라서 $g^{-1}(0) = -1$입니다.

c) $g^{-1}(-2)$: $y = -2$일 때 그래프는 $x = -2$에 있습니다. 따라서 $g^{-1}(-2) = -2$입니다.

d) $g^{-1}(8)$: 그래프의 최대 높이는 $y = 6$입니다. 따라서 $g^{-1}(8)$은 정의되지 않습니다.

문제 2: 삼각함수 관계 $h(x)$

구하세요: $h^{-1}(1)$, $h^{-1}(0)$, $h^{-1}(-1)$.

Graph of trigonometric function h
풀이 보기

a) $h^{-1}(1)$: $x = 0$일 때 그래프의 높이는 1입니다. 따라서 $h^{-1}(1) = 0$입니다.

b) $h^{-1}(0)$: 그래프가 $y=0$을 지나는 곳은 $x = \pi/2$입니다. 따라서 $h^{-1}(0) = \pi/2$입니다.

c) $h^{-1}(-1)$: 그래프가 $-1$에 도달하는 곳은 $x = \pi$입니다. 따라서 $h^{-1}(-1) = \pi$입니다.

d) $h^{-1}(2)$: 최대 y값은 1입니다. 따라서 $h^{-1}(2)$는 정의되지 않습니다.

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