고등학교 2학년 기하학 문제에 대한 상세한 풀이를 살펴보세요. 좌표 기하학, 원의 정리, 그리고 복합 도형의 넓이 및 부피 계산을 다룹니다.
원 \( x^2 + 2x + y^2 + 4y = -1 \)과 직선 \( x - y = 1 \)의 모든 교점을 구하세요.
일차방정식을 \( x \)에 대해 풉니다: \( x = 1 + y \).
원의 방정식에 대입합니다:
\[ (1 + y)^2 + 2(1 + y) + y^2 + 4y = -1 \]전개하고 표준 이차형식으로 정리합니다:
\[ 2y^2 + 8y + 4 = 0 \]\( y \)에 대해 풀면 \( y = -2 \pm \sqrt{2} \)가 됩니다. \( x = 1 + y \)를 사용하면 교점은 다음과 같습니다:
\[ (-1 + \sqrt{2},\ -2 + \sqrt{2}) \quad \text{및} \quad (-1 - \sqrt{2},\ -2 - \sqrt{2}) \]x축 및 두 직선 \( y = x \), \( y = -2x + 3 \)으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하세요.
\( y = x \)와 \( y = -2x + 3 \) 연립방정식을 풀면 꼭짓점 좌표는 \( (1, 1) \)이 됩니다. 높이는 \( h = 1 \)입니다.
밑변은 x상에서 \( x = 0 \)부터 \( y = -2x + 3 \)의 x절편인 \( x = 1.5 \)까지입니다.
\[ \text{넓이} = \frac{1}{2} \times 1.5 \times 1 = 0.75 \text{ 또는 } \frac{3}{4} \]넓이가 18이고 두 변의 길이가 각각 5와 10인 삼각형의 세 번째 변의 길이를 구하세요.
원 안에서 현 AC와 BD가 점 O에서 만납니다. 삼각형 BOC의 넓이가 15, AO = 10, OB = 5일 때, 삼각형 AOD의 넓이를 구하세요.
교차하는 현의 정리에 의해 \( AO \cdot OC = BO \cdot OD \)입니다. 이를 통해 비율을 얻습니다:
\[ \frac{AO}{BO} = \frac{OD}{OC} = \frac{10}{5} = 2 \]두 삼각형은 맞꼭지각을 공유합니다. 넓이의 비는 변의 비의 곱과 같습니다:
\[ \text{Area}_{\triangle AOD} = \text{Area}_{\triangle BOC} \times 2 \times 2 = 15 \times 4 = 60 \]
두 동심원의 반지름이 각각 10과 6입니다. 작은 원에 접하고 큰 원의 현인 AB의 길이는 얼마인가요?
접점을 향해 반지름을 그리면 현과 함께 직각삼각형이 형성됩니다.
현의 절반인 \( x \)에 대해 피타고라스 정리를 적용합니다:
\[ 6^2 + x^2 = 10^2 \Rightarrow x = \sqrt{100 - 36} = 8 \]전체 길이 \( AB = 2x = 16 \).
점 A가 한 변의 길이가 20인 정사각형 BCDE 내부에 있습니다. AB = 9이고 AE = 13일 때, 선분 AC의 길이를 구하세요.
\(\triangle ABE\)에서 코사인 법칙을 사용합니다:
\[ 13^2 = 20^2 + 9^2 - 2(20)(9)\cos(T) \]\(\triangle ACB\)에서 코사인 법칙을 사용합니다:
\[ x^2 = 20^2 + 9^2 - 2(20)(9)\cos(90^\circ - T) \]
\( \cos(90^\circ - T) = \sin(T) \)임에 유의하세요. 첫 번째 방정식을 풀면 \( \cos(T) = \frac{13}{15} \)가 됩니다.
항등식 \( \sin(T) = \sqrt{1 - (13/15)^2} = \frac{2\sqrt{14}}{15} \)을 사용합니다:
\[ AC = \sqrt{481 - 48\sqrt{14}} \approx 17.4 \]금속 물체는 원기둥 위에 반구 모양이 얹혀 있는 형태입니다. 반지름 \( r = 5 \text{ cm} \), 원기둥 높이 \( h = 12 \text{ cm} \)입니다. 밀도는 \( 7.8 \text{ g/cm}^3 \)입니다.
a) 총 부피:
\[ V_{cyl} = \pi(5)^2(12) = 300\pi \] \[ V_{hemi} = \frac{2}{3}\pi(5)^3 = \frac{250}{3}\pi \] \[ V_{total} = \frac{1150}{3}\pi \text{ cm}^3 \]b) 질량:
\[ \text{질량} = 7.8 \times \text{부피} \approx 9396.66 \text{ g} \]어느 정원은 \( 12 \times 8 \text{ m} \) 크기의 직사각형에 8m인 한 변에 반원이 부착된 형태입니다.
a) 총 넓이:
\[ A_{rect} = 12 \times 8 = 96, \quad A_{semi} = \frac{1}{2}\pi(4)^2 = 8\pi \] \[ A_{total} = 96 + 8\pi \approx 121.13 \text{ m}^2 \]b) 둘레: 내부 경계는 제외합니다.
\[ P = 12 + 8 + 12 (\text{직사각형 변들}) + \pi(4) (\text{호}) \approx 44.57 \text{ m} \]교차하는 현의 정리, 원의 방정식 및 고등학교 수학에 대해 더 알아보세요.