3D 벡터($R^3$) 마스터하기: 12개 연습 문제

주어진 점 \( A(x_1 , y_1 ,z_1) = A(2,6,7) \)과 \( B(x_2 , y_2 ,z_2) = B(0,-3,1) \)에 대해 성분 공식을 사용합니다:

\[ \vec{AB} = \langle x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1 \rangle = \langle 0-2, -3-6, 1-7 \rangle = \langle -2, -9, -6 \rangle \] \[ \vec{BA} = \langle x_1-x_2, y_1-y_2, z_1-z_2 \rangle = \langle 2-0, 6-(-3), 7-1 \rangle = \langle 2, 9, 6 \rangle \]

관계를 보이려면:

\[ \vec{AB} = \langle -2, -9, -6 \rangle = -1 \langle 2, 9, 6 \rangle = -1\vec{BA} \]

a) 합 공식 사용:

\[ \vec{v_1} + \vec{v_2} = \langle 0,-3,2 \rangle + \langle -3,4,5 \rangle = \langle 0+(-3), -3+4, 2+5 \rangle = \langle -3, 1, 7 \rangle \]

b) 차 공식 사용:

\[ \vec{v_1} - \vec{v_2} = \langle 0,-3,2 \rangle - \langle -3,4,5 \rangle = \langle 0-(-3), -3-4, 2-5 \rangle = \langle 3, -7, -3 \rangle \]

c) 스칼라곱 사용:

\[ -3\vec{v_1} = -3 \langle 0,-3,2 \rangle = \langle -3(0), -3(-3), -3(2) \rangle = \langle 0, 9, -6 \rangle \]

d) 스칼라곱과 합의 조합:

\[ -2\vec{v_1} + 3\vec{v_2} = -2\langle 0,-3,2 \rangle + 3\langle -3,4,5 \rangle = \langle 0,6,-4 \rangle + \langle -9,12,15 \rangle = \langle -9, 18, 11 \rangle \]

e) 벡터 \( \vec{v_1} + k\vec{v_2} \) 구하기:

\[ \vec{v_1} + k\vec{v_2} = \langle 0,-3,2 \rangle + k \langle -3,4,5 \rangle = \langle -3k, -3+4k, 2+5k \rangle \]

크기를 구하고 \( \sqrt{67} \)과 같다고 놓습니다:

\[ \sqrt{(-3k)^2 + (-3+4k)^2 + (2+5k)^2} = \sqrt{67} \]

양변을 제곱하고 전개 및 정리:

\[ 9k^2 + (9 - 24k + 16k^2) + (4 + 20k + 25k^2) = 67 \] \[ 50k^2 - 4k + 13 = 67 \implies 50k^2 - 4k - 54 = 0 \]

이차 방정식을 풀어 \( k = -1 \) 및 \( k = 27/25 \)를 얻습니다.

단위 벡터 \( \vec{u} \)는 \( \vec{u} = \dfrac{1}{|| \vec{v} ||} \vec{v} \)로 주어집니다.

\[ || \vec{v} || = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{13} \] \[ \vec{u} = \dfrac{1}{\sqrt{13}} \langle 0,-3,2 \rangle = \left\langle 0, \dfrac{-3}{\sqrt{13}}, \dfrac{2}{\sqrt{13}} \right\rangle \]

확인을 위해 \( \vec{u} \)의 크기를 계산합니다:

\[ || \vec{u} || = \sqrt{ 0^2 + \left(\dfrac{-3}{\sqrt{13}}\right)^2 + \left(\dfrac{2}{\sqrt{13}}\right)^2 } = \sqrt{ \dfrac{9}{13} + \dfrac{4}{13} } = \sqrt{ \dfrac{13}{13} } = 1 \]

종점 좌표에서 시점 좌표를 빼서 성분을 구합니다:

\[ \vec{AB} = \langle 0-2, -3-6, 1-7 \rangle = \langle -2, -9, -6 \rangle \] \[ \vec{BC} = \langle 0-0, 3-(-3), 4-1 \rangle = \langle 0, 6, 3 \rangle \] \[ \vec{AC} = \langle 0-2, 3-6, 4-7 \rangle = \langle -2, -3, -3 \rangle \]

이제 합을 검증합니다:

\[ \vec{AB} + \vec{BC} = \langle -2, -9, -6 \rangle + \langle 0, 6, 3 \rangle = \langle -2+0, -9+6, -6+3 \rangle = \langle -2, -3, -3 \rangle \]

이 결과는 \( \vec{AC} \)의 성분과 정확히 일치합니다.

\[ \vec{AB} = \langle 2-(-1), 4-2, 2-1 \rangle = \langle 3, 2, 1 \rangle \] \[ \vec{BC} = \langle 5-2, 6-4, 3-2 \rangle = \langle 3, 2, 1 \rangle \] \[ \vec{AC} = \langle 5-(-1), 6-2, 3-1 \rangle = \langle 6, 4, 2 \rangle \]

\( \vec{AB} \)와 \( \vec{BC} \)는 성분이 같으므로 **동치**입니다.

\( \vec{AC} \)와의 관계에 주목하세요:

\[ \vec{AC} = \langle 6, 4, 2 \rangle = 2 \langle 3, 2, 1 \rangle = 2\vec{BC} \]

따라서 \( \vec{AC} \)는 \( \vec{BC} \)(및 \( \vec{AB} \))의 스칼라 배수이므로 세 벡터 모두 **평행**합니다.

\( \vec{v} = \langle x,y,z \rangle \)라고 하고 성분을 사용하여 방정식을 다시 씁니다:

\[ \langle -4,0,2 \rangle - 2 \langle x,y,z \rangle = 3 \langle x,y,z \rangle - 3 \langle -1,-4,2 \rangle \]

각 변을 곱하고 간소화합니다:

\[ \langle -4-2x, -2y, 2-2z \rangle = \langle 3x - 3(-1), 3y - 3(-4), 3z - 3(2) \rangle \] \[ \langle -4-2x, -2y, 2-2z \rangle = \langle 3x + 3, 3y + 12, 3z - 6 \rangle \]

대응하는 성분을 같게 놓고 풉니다:

• \( -4 - 2x = 3x + 3 \implies -5x = 7 \implies x = -7/5 \)
• \( -2y = 3y + 12 \implies -5y = 12 \implies y = -12/5 \)
• \( 2 - 2z = 3z - 6 \implies -5z = -8 \implies z = 8/5 \)

최종 벡터: \( \vec{v} = \langle -7/5, -12/5, 8/5 \rangle \)

길이가 두 배이고 같은 방향인 벡터 \( \vec{u} \)는 단순히 \( \vec{v} \)에 스칼라 2를 곱한 것입니다:

\[ \vec{u} = 2 \vec{v} = 2 \langle -4,2,2 \rangle = \langle -8, 4, 4 \rangle \]

먼저 \( \vec{v} \)의 반대 방향인 단위 벡터 \( -\dfrac{1}{||\vec{v}||} \vec{v} \)를 구합니다.

\[ ||\vec{v}|| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3 \]

반대 방향의 단위 벡터는 \( -\dfrac{1}{3} \langle -1, 2, 2 \rangle \)입니다.

길이가 5가 되도록 스칼라 5를 곱합니다:

\[ \vec{u} = 5 \left( -\dfrac{1}{3} \langle -1, 2, 2 \rangle \right) = -\dfrac{5}{3} \langle -1, 2, 2 \rangle = \left\langle \dfrac{5}{3}, -\dfrac{10}{3}, -\dfrac{10}{3} \right\rangle \]

스칼라 크기 성질을 사용합니다: \( ||k \vec{v} || = |k| \cdot || \vec{v} || \).

먼저 \( \vec{v} \)의 크기를 구합니다:

\[ || \vec{v} || = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = 3 \]

방정식에 대입합니다:

\[ 3|k| = \dfrac{1}{5} \implies |k| = \dfrac{1}{15} \]

이로부터 \( k \)에 대한 두 가지 가능한 해를 얻습니다:

\[ k = \dfrac{1}{15} \quad \text{and} \quad k = -\dfrac{1}{15} \]

벡터는 한쪽이 다른 쪽의 스칼라 배수일 때 평행합니다: \( \vec{v_1} = k \vec{v_2} \).

\[ \langle -4,6,2 \rangle = k \langle 2,b,c \rangle = \langle 2k, kb, kc \rangle \]

각 성분에 대한 방정식을 세웁니다:

• \( -4 = 2k \implies k = -2 \)
• \( 6 = kb \implies 6 = -2b \implies b = -3 \)
• \( 2 = kc \implies 2 = -2c \implies c = -1 \)

결과: \( b = -3 \) 및 \( c = -1 \).

점 A, B, C가 일직선 위에 있으려면 벡터 \( \vec{AB} \)와 \( \vec{AC} \)가 평행해야 합니다(즉, \( \vec{AC} = k \vec{AB} \)).

\[ \vec{AC} = \langle 0-2, 2-6, 3-7 \rangle = \langle -2, -4, -4 \rangle \] \[ \vec{AB} = \langle 1-2, 4-6, 5-7 \rangle = \langle -1, -2, -2 \rangle \]

스칼라 배수 관계를 확인합니다:

\[ \langle -2, -4, -4 \rangle = 2 \langle -1, -2, -2 \rangle \]

\( \vec{AC} = 2 \vec{AB} \)이므로 두 벡터는 평행하고 점 A를 공유합니다. 따라서 점들은 일직선 위에 있습니다.

a) 한 변의 길이가 2이고 A가 원점에 있을 때 꼭짓점의 좌표를 먼저 정의합니다:

A(0,0,0), B(2,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0), E(0,0,2), F(2,0,2), G(2,2,2), H(0,2,2).

• \( \vec{AB} = \langle 2-0, 0-0, 0-0 \rangle = \langle 2,0,0 \rangle \)
• \( \vec{EF} = \langle 2-0, 0-0, 2-2 \rangle = \langle 2,0,0 \rangle \)
• \( \vec{DC} = \langle 2-0, 2-2, 0-0 \rangle = \langle 2,0,0 \rangle \)
• \( \vec{HG} = \langle 2-0, 2-2, 2-2 \rangle = \langle 2,0,0 \rangle \)
• \( \vec{AC} = \langle 2-0, 2-0, 0-0 \rangle = \langle 2,2,0 \rangle \)
• \( \vec{AG} = \langle 2-0, 2-0, 2-0 \rangle = \langle 2,2,2 \rangle \)

b) 벡터 \( \vec{AB} \), \( \vec{EF} \), \( \vec{DC} \), \( \vec{HG} \)는 성분이 \( \langle 2,0,0 \rangle \)로 같으므로 동치입니다.

c) 좌변과 우변을 대수적으로 계산합니다:

좌변: \( \vec{AB} + \vec{BF} + \vec{FG} = \langle 2,0,0 \rangle + \langle 0,0,2 \rangle + \langle 0,2,0 \rangle = \langle 2,2,2 \rangle \)

우변: \( \vec{AC} + \vec{CG} = \langle 2,2,0 \rangle + \langle 0,0,2 \rangle = \langle 2,2,2 \rangle \)

따라서 \( \vec{AB} + \vec{BF} + \vec{FG} = \vec{AC} + \vec{CG} \)입니다.

d) \( \vec{AG} \)의 크기를 구합니다:

\[ || \vec{AG} || = \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \]

e) \( \vec{AG} \) 방향의 단위 벡터:

\[ \dfrac{1}{|| \vec{AG} ||} \vec{AG} = \dfrac{1}{2\sqrt{3}} \langle 2,2,2 \rangle = \left\langle \dfrac{1}{\sqrt{3}}, \dfrac{1}{\sqrt{3}}, \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right\rangle \]