3D 벡터(R³): 종합 가이드 및 연산
3D 좌표 공간에서의 벡터 마스터하기
3D 벡터는 합, 차, 스칼라곱과 같은 기본 연산과 함께 소개됩니다. 크기 및 단위 벡터와 같은 성질도 설명됩니다. 이 강좌를 검토한 후, 연습 문제 및 상세한 풀이를 통해 지식을 테스트할 수 있습니다.
벡터란 무엇입니까?
벡터는 크기와 방향을 모두 가진 양입니다. 아래 그림과 같이 길이가 크기를 나타내고 화살표가 방향을 나타내는 선분으로 기하학적으로 표현됩니다. 벡터는 물리학에서 속도, 힘, 가속도와 같이 크기와 방향이 있는 양을 모델링하는 데 사용되며, 공학, 화학, 컴퓨터 그래픽스, 로보틱스 및 기타 여러 분야에서 사용됩니다.
위 그림에서 벡터는 시점 A와 종점 B를 사용하여 정의됩니다. 따라서 이 벡터는 \( \vec{AB} \)로 나타낼 수 있습니다.
동치 벡터
크기가 같고 방향이 같은 벡터는 공간에서의 위치에 관계없이 동치 벡터입니다.
기하학적 벡터 연산
두 벡터의 합
두 벡터 \( \vec{v_1} \)과 \( \vec{v_2} \)가 주어졌을 때, 그들의 합은 먼저 벡터 \( \vec{v_2} \)의 시점이 \( \vec{v_1} \)의 종점과 일치하도록 배치하여 얻은 벡터입니다. 합 \( \vec{v_1} + \vec{v_2} \)는 시점이 \( \vec{v_1} \)의 시점이고 종점이 \( \vec{v_2} \)의 종점인 벡터입니다.
\( \vec{v_1} + \vec{v_2} = \vec{v_2} + \vec{v_1} \)임에 유의하세요. 또한, 두 벡터의 합은 \( \vec{v_1} \)과 \( \vec{v_2} \)에 의해 결정되는 평행사변형의 대각선과 일치합니다.
두 벡터의 차
두 벡터 \( \vec{v_1} \)과 \( \vec{v_2} \)가 주어졌을 때, 차 \( \vec{v_2} - \vec{v_1} \)은 합 \( \vec{v_2} + (- \vec{v_1}) \)로 정의되며 아래와 같이 기하학적으로 표현될 수 있습니다.
벡터의 스칼라곱
벡터 \( \vec{v_1} \)에 스칼라 \( k \)를 곱한 것은 \( \vec{v_1} \)과 평행하고, \( k \gt 0 \)인 경우 \( \vec{v_1} \)과 방향이 같으며 \( k \lt 0 \)인 경우 반대인 벡터 \( k\vec{v_1} \)로 정의됩니다. \( k\vec{v_1} \)의 크기(길이)는 \( \vec{v_1} \) 크기의 \( | k | \)배입니다.
아래 그림은 벡터 \( \vec{v_1} \), \( 2\vec{v_1} \), \( -3 \vec{v_1} \)을 보여줍니다.
3D 직교 좌표계에서의 벡터
단위 벡터는 크기가 1인 벡터입니다. 아래에는 x, y, z축의 양의 방향으로 각각 단위 벡터 \( \vec{i} \), \( \vec{j} \), \( \vec{k} \)가 있는 3D 직교 좌표계가 나와 있습니다. 단위 벡터 \( \vec{i} \), \( \vec{j} \), \( \vec{k} \)는 다음과 같이 성분으로 정의할 수 있습니다:
- \( \vec{i} = \langle 1 , 0 , 0 \rangle \), x축 방향으로 1단위.
- \( \vec{j} = \langle 0 , 1 , 0 \rangle \), y축 방향으로 1단위.
- \( \vec{k} = \langle 0 , 0 , 1 \rangle \), z축 방향으로 1단위.
벡터의 성분
임의의 벡터 \( \vec{v} \)의 성분은 다음과 같이 단위 벡터 \( \vec{i} \), \( \vec{j} \), \( \vec{k} \)의 배수의 합으로 \( \vec{v} \)를 표현하여 정의됩니다:
\[ \vec{v} = 3\vec{i} + 4\vec{j} + 5\vec{k} \]또는 다음과 같이 꺾쇠 괄호를 사용하여 성분 형태로 나타냅니다:
\[ \vec{v} = \langle 3, 4, 5 \rangle \]
시점 \( A = (x_1 , y_1 , z_1) \)과 종점 \( B = (x_2 , y_2 , z_2) \)에 의해 정의된 벡터 \( \vec{v} \)의 성분은 다음과 같습니다:
\[ \vec{v} = \langle x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1 \rangle \]
크기 및 단위 벡터 계산하기
벡터 \( \vec{v} = \langle a, b, c \rangle \)가 주어졌을 때, 그 크기(또는 길이)는 다음과 같습니다:
\[ ||\vec{v}|| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \]\( \vec{v} \)와 같은 방향이며 크기가 1인 벡터로 정의되는 단위 벡터 \( \vec{u} \)는 다음과 같습니다:
\[ \vec{u} = \dfrac{1}{||\vec{v}||} \vec{v} \]대수적 합, 차 및 스칼라곱
벡터 \( \vec{v_1} = \langle a_1, b_1, c_1 \rangle \)과 \( \vec{v_2} = \langle a_2, b_2, c_2 \rangle \)가 주어졌을 때, 합 \( \vec{v_1} + \vec{v_2} \), 차 \( \vec{v_1} - \vec{v_2} \), 그리고 스칼라곱 \( k \vec{v_1} \)(단, k는 실수)은 다음과 같습니다: