12학년을 위한 기하학 문제 및 풀이

삼각형 $ABC$는 두 변의 길이가 같으므로 밑변이 $AC$인 이등변 삼각형입니다. 각 $\angle BAC$의 크기는 다음과 같이 주어집니다:

$$ \angle BAC = \dfrac{180^\circ - 36^\circ}{2} = 72^\circ $$

각 $\angle BOC$는 중심각이고 $\angle BAC$는 원주각이며, 두 각 모두 같은 호 $BC$를 가로지릅니다. 원주각 정리에 따라:

$$ \angle BOC\text{의 크기} = 2 \times \angle BAC\text{의 크기} = 2 \times 72^\circ = \mathbf{144^\circ} $$

$C_1, C_2, C_3$의 반지름을 각각 $R_1, R_2, R_3$이라 하고 $R_1 = R_2 = R$이라고 합시다.

$C_3O$를 $C_3$의 중심에서 중심 $C_1$과 $C_2$를 연결하는 수평선분까지의 수직 거리라고 합시다. 따라서: $$ h = C_3O + R \quad (I) $$

직각삼각형 $C_3 O C_1$에 피타고라스 정리를 적용합니다: $$ C_3O^2 + \left(\dfrac{x}{2}\right)^2 = (R + R_3)^2 $$

$C_3O$에 대해 풉니다: $$ C_3O = \sqrt{(R + R_3)^2 - \left(\dfrac{x}{2}\right)^2} $$

식 (I)을 사용하여 $C_3O$를 대입하여 최종 높이 $h$를 구합니다: $$ \mathbf{h = R + \sqrt{(R + R_3)^2 - \left(\dfrac{x}{2}\right)^2}} $$

$C_1, C_2, C_3$의 반지름을 각각 $r, R_2, R_3$이라 하고 $R_2 = R_3 = R$이라고 합시다. $r = 10$ cm임에 유의하세요.

직각삼각형 $M C_1 C_3$에 피타고라스 정리를 적용합니다: $$ C_1C_3^2 = MC_3^2 + MC_1^2 \quad (I) $$

그림의 기하학에서 변의 길이를 반지름 값으로 대체할 수 있습니다: $C_1C_3 = r + R$ $MC_3 = R$ $MC_1 = R - r$

이 값들을 식 (I)에 대입합니다: $$ (r + R)^2 = R^2 + (R - r)^2 $$

식을 전개하고 정리합니다: $$ r^2 + 2rR + R^2 = R^2 + R^2 - 2rR + r^2 $$ $$ 2rR = R^2 - 2rR $$ $$ 4rR = R^2 $$

since $R > 0$이므로 양변을 $R$로 나눕니다: $$ R = 4r $$

$r = 10$ cm를 대입합니다: $$ \mathbf{R = 4(10) = 40 \text{ cm}} $$

각 $\angle BtA$와 $\angle CtD$는 맞꼭지각이므로: $$ \angle BtA = 90^\circ $$

$\angle BtA = 90^\circ$이고 이것이 원주각이므로, 탈레스의 정리의 역에 의해 $AB$는 원의 지름이어야 합니다.

$CD$가 $AB$와 평행하므로 삼각형 $BtA$와 삼각형 $CtD$는 닮은 삼각형입니다. 대응하는 높이와 밑변의 비례 관계에 따라 다음이 성립합니다: $$ \dfrac{3}{5} = \dfrac{AB}{x} $$

지름 $AB$에 대해 풉니다: $$ AB = \dfrac{3x}{5} $$

반지름은 지름의 절반입니다: $$ \text{반지름} = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{3x}{10} $$

마지막으로 원의 넓이를 계산합니다: $$ \text{넓이} = \pi \times \text{반지름}^2 = \pi \left(\dfrac{3x}{10}\right)^2 = \mathbf{0.09\pi x^2} $$

중앙을 지나는 수평선과 수직선을 그려 큰 정사각형을 네 개의 작은 정사각형으로 나눕니다.

작은 정사각형 하나(예: 왼쪽 아래)를 생각해 봅시다. 이 정사각형의 변의 길이는 $2x$($4x$의 절반)입니다. 이 정사각형의 일부분은 색칠되어 있고 다른 부분은 흰색(색칠되지 않음)입니다. 색칠된 부분은 사분원으로 경계 지어져 있습니다. 먼저 흰색 부분에 집중해 봅시다.

작은 정사각형 하나에서 색칠되지 않은(흰색) 모서리 부분의 넓이는 작은 정사각형의 넓이에서 사분원의 넓이를 뺀 것입니다: $$ \text{하나의 흰색 영역의 넓이} = (2x)^2 - \dfrac{1}{4}\pi(2x)^2 = 4x^2 - \pi x^2 $$

전체 큰 정사각형을 보면, 8개의 동일한 흰색 영역이 있습니다(네 개의 작은 정사각형 각각에 2개씩).

전체 도형에서 색칠된 부분의 넓이 $A$는 큰 정사각형의 전체 넓이에서 8개의 색칠되지 않은 영역을 뺀 것입니다: $$ A = (4x)^2 - 8 \left[ (2x)^2 - \dfrac{1}{4}\pi(2x)^2 \right] $$ $$ A = 16x^2 - 8 \left[ 4x^2 - \pi x^2 \right] $$ $$ A = 16x^2 - 32x^2 + 8\pi x^2 $$ $$ A = 8\pi x^2 - 16x^2 $$ $$ \mathbf{A = 16x^2 \left( \dfrac{\pi}{2} - 1 \right)} $$

접점에 반지름을 그리고(직각을 형성함), 현의 끝점까지 반지름을 그려 직각삼각형을 만듭니다.

이 직각삼각형의 빗변의 길이는 $R$, 한 변의 길이는 $r$, 두 번째 변의 길이는 현 길이의 정확히 절반($20 / 2 = 10$ mm)입니다. 피타고라스 정리를 사용합니다:

$$ R^2 = r^2 + 10^2 \quad (I) $$ $$ R^2 - r^2 = 100 $$

고리의 넓이 $A$는 큰 원의 넓이에서 작은 원의 넓이를 빼서 구합니다: $$ A = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2) \quad (II) $$

넓이 공식에 $R^2 - r^2 = 100$을 대입합니다: $$ \mathbf{A = 100\pi \text{ mm}^2} $$

평행사변형의 넓이는 벡터 $\mathbf{AB}$와 $\mathbf{AD}$의 외적의 크기를 사용하여 계산할 수 있습니다:

$$ \text{넓이} = | \mathbf{AB} \times \mathbf{AD} | $$

먼저 주어진 점 $A(-2, -2), B(2, b), D(4, 2)$로부터 벡터를 계산합니다: $$ \mathbf{AB} = \langle 2 - (-2), b - (-2), 0 \rangle = \langle 4, b + 2, 0 \rangle $$ $$ \mathbf{AD} = \langle 4 - (-2), 2 - (-2), 0 \rangle = \langle 6, 4, 0 \rangle $$

외적의 행렬식 형태를 계산합니다: $$ \mathbf{AB} \times \mathbf{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & b+2 & 0 \\ 6 & 4 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{k}((4)(4) - (6)(b+2)) $$ $$ \mathbf{AB} \times \mathbf{AD} = (16 - 6b - 12)\mathbf{k} = (4 - 6b)\mathbf{k} $$

크기를 구하고 80으로 놓습니다: $$ |4 - 6b| = 80 $$ $$ 4 - 6b = 80 \quad \text{또는} \quad 4 - 6b = -80 $$ $$ -6b = 76 \implies b = -\dfrac{38}{3} $$ $$ -6b = -84 \implies b = 14 $$

점 $B(2, b)$가 그래프상에서 명확히 제1사분면에 있으므로 $b = 14$를 선택합니다.

$ABCD$가 평행사변형이므로 대변의 벡터는 같습니다: $\mathbf{AB} = \mathbf{DC}$. $$ \mathbf{AB} = \langle 4, 14 + 2, 0 \rangle = \langle 4, 16, 0 \rangle $$ $$ \mathbf{DC} = \langle c - 4, d - 2, 0 \rangle $$

대응하는 성분을 같게 둡니다: $c - 4 = 4 \implies c = 8$ $d - 2 = 16 \implies d = 18$

결론: $$ \mathbf{b = 14, \; c = 8, \; d = 18} $$

3개의 직각삼각형이 있습니다. 각각에 대해 피타고라스 정리를 사용하여 방정식을 세웁니다:

$$ y^2 + z^2 = 12^2 \quad (I) $$ $$ x^2 + z^2 = 9^2 \quad (II) $$ $$ (x + y)^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225 \quad (III) $$

길이는 양수여야 하므로 양변의 제곱근을 구하여 식 (III)을 풉니다: $$ x + y = 15 $$

$z^2$을 소거하기 위해 식 (I)에서 식 (II)를 뺍니다: $$ (y^2 + z^2) - (x^2 + z^2) = 144 - 81 $$ $$ y^2 - x^2 = 63 $$

제곱의 차를 인수분해합니다: $$ (y - x)(y + x) = 63 $$

인수분해된 식에 $x + y = 15$를 대입합니다: $$ (y - x)(15) = 63 \implies y - x = \dfrac{63}{15} = \dfrac{21}{5} $$

이제 연립방정식을 풉니다: $$ y + x = 15 = \dfrac{75}{5} $$ $$ y - x = \dfrac{21}{5} $$ 더하면: $2y = \dfrac{96}{5} \implies \mathbf{y = \dfrac{48}{5}}$ 빼면: $2x = \dfrac{54}{5} \implies \mathbf{x = \dfrac{27}{5}}$

식 (I)을 사용하여 $z$를 구합니다: $$ \left(\dfrac{48}{5}\right)^2 + z^2 = 144 \implies z^2 = 144 - \dfrac{2304}{25} = \dfrac{3600 - 2304}{25} = \dfrac{1296}{25} $$ $$ \mathbf{z = \dfrac{36}{5}} $$

내부 점을 지나는 수직선과 수평선을 그려 직사각형을 4개의 작은 직사각형으로 나눕니다.

모퉁이에 형성된 4개의 직각삼각형에 피타고라스 정리를 적용합니다(그림에 표시된 대로 두 변을 각각 $a, b, c, d$라고 합니다):

$$ a^2 + c^2 = 4^2 \quad (I) \text{ (왼쪽 위)} $$ $$ b^2 + c^2 = x^2 \quad (II) \text{ (왼쪽 아래)} $$ $$ b^2 + d^2 = 5^2 \quad (III) \text{ (오른쪽 아래)} $$ $$ a^2 + d^2 = 6^2 \quad (IV) \text{ (오른쪽 위)} $$

식 (I)에서 (II)를 뺍니다: $$ a^2 - b^2 = 4^2 - x^2 $$

식 (IV)에서 (III)을 뺍니다: $$ a^2 - b^2 = 6^2 - 5^2 $$

$(a^2 - b^2)$에 대한 두 식을 서로 같다고 둡니다: $$ 4^2 - x^2 = 6^2 - 5^2 $$ $$ 16 - x^2 = 36 - 25 $$ $$ 16 - x^2 = 11 $$ $$ x^2 = 5 $$ $$ \mathbf{x = \sqrt{5}} $$

대칭성에 의해 색칠된 영역은 좌우가 똑같은 두 개의 반으로 나눌 수 있습니다. 왼쪽 반의 넓이를 계산해 봅시다.

겹치는 영역의 왼쪽 반은 부채꼴 $BOC$의 넓이에서 삼각형 $BOC$의 넓이를 뺀 것입니다. 중심 사이의 거리가 6이므로 $OM$의 길이(거리의 절반)는 3입니다.

삼각형 $BOM$은 직각삼각형이므로 각 $\angle BOM$을 구할 수 있습니다: $$ \cos(\angle BOM) = \dfrac{OM}{OB} = \dfrac{3}{4} $$ $$ \angle BOM = \arccos(0.75) $$

전체 중심각 $BOC$는 $\angle BOM$의 두 배입니다. 따라서:

1. 부채꼴 $BOC$의 넓이 = $\dfrac{1}{2} (2 \angle BOM) r^2$ (라디안 단위)

2. 삼각형 $BOC$의 넓이 = $\dfrac{1}{2} \sin(2 \angle BOM) r^2$

전체 색칠된 영역은 왼쪽 반의 두 배입니다: $$ \text{총 넓이} = 2 \left[ \dfrac{1}{2}(2 \angle BOM)r^2 - \dfrac{1}{2}\sin(2 \angle BOM)r^2 \right] $$ $$ \text{총 넓이} = r^2 \left( 2 \angle BOM - \sin(2 \angle BOM) \right) $$

$r = 4$ 및 $\angle BOM = \arccos(0.75)$를 대입합니다: $$ \text{총 넓이} = 4^2 \left( 2\arccos(0.75) - \sin(2\arccos(0.75)) \right) $$ $$ \text{총 넓이} = 16 \left( 1.445 - 0.992 \right) \approx \mathbf{7.25 \text{ square units}} $$

1. 정리 확인하기:
이 문제는 **현의 교차 정리**를 필요로 합니다. 원 내부에서 두 현이 교차할 때 한 현의 선분들의 곱은 다른 현의 선분들의 곱과 같다는 내용입니다.

2. 방정식 세우기:
$$ AP \times PB = CP \times PD $$

3. 대입하고 풀기:
$$ 4 \times 6 = 3 \times PD $$ $$ 24 = 3 \times PD $$ $$ \mathbf{PD = 8} $$

1. 육각형 쪼개기:
원에 내접하는 정육각형은 원의 중심에서 6개의 꼭짓점으로 선을 그어 정확히 6개의 동일한 정삼각형으로 나눌 수 있습니다. 정육각형이므로 육각형의 한 변의 길이는 외접원의 반지름과 정확히 같습니다($s = R = 10$).

2. 정삼각형 하나의 넓이:
변의 길이가 $s$인 정삼각형의 넓이 공식은 다음과 같습니다: $$ A_{\text{triangle}} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}s^2 $$ $s = 10$을 대입합니다: $$ A_{\text{triangle}} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}(100) = 25\sqrt{3} $$

3. 전체 넓이:
육각형을 구성하는 6개의 삼각형을 곱합니다: $$ A_{\text{total}} = 6 \times 25\sqrt{3} = \mathbf{150\sqrt{3}} $$

1. 정리 확인하기:
삼각형의 세 변이 주어졌을 때 중선의 길이를 구하기 위해 중선의 길이와 세 변의 길이를 연관시키는 **아폴로니우스의 정리(중선정리)**를 사용합니다: $$ AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2) $$

2. 선분 결정하기:
$AM$은 중선이므로 $M$은 변 $BC$를 정확히 반으로 나눕니다. $$ BM = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{9}{2} = 4.5 $$

3. 대입하고 풀기:
$$ 7^2 + 8^2 = 2\left(AM^2 + 4.5^2\right) $$ $$ 49 + 64 = 2(AM^2 + 20.25) $$ $$ 113 = 2AM^2 + 40.5 $$ $$ 72.5 = 2AM^2 $$ $$ AM^2 = 36.25 = \dfrac{145}{4} $$ $$ \mathbf{AM = \dfrac{\sqrt{145}}{2}} \approx 6.02 $$