12학년 수학 연습 테스트 마스터하기: 17개의 문제와 상세한 풀이

1. 모든 항을 한쪽으로 옮깁니다:

\[ \dfrac{x+1}{x+2} - 1 - \dfrac{1}{x-1} \geq 0 \]

2. 공통분모인 \((x+2)(x-1)\)을 찾습니다:

\[ \dfrac{(x+1)(x-1) - (x+2)(x-1) - (x+2)}{(x+2)(x-1)} \geq 0 \] \[ \dfrac{(x^2-1) - (x^2+x-2) - (x+2)}{(x+2)(x-1)} \geq 0 \] \[ \dfrac{x^2 - 1 - x^2 - x + 2 - x - 2}{(x+2)(x-1)} \geq 0 \] \[ \dfrac{-2x - 1}{(x+2)(x-1)} \geq 0 \]

3. 임계점을 식별합니다: \(x = -0.5\)(분자가 0이 되는 곳), \(x = -2\) 및 \(x = 1\)(분모가 정의되지 않는 곳).

4. 구간을 테스트합니다:

• \((-\infty, -2)\): \(x = -3\) 대입 \(\implies \dfrac{5}{(-1)(-4)} > 0\) (참)
• \((-2, -0.5]\): \(x = -1\) 대입 \(\implies \dfrac{1}{(1)(-2)} < 0\) (거짓)
• \([-0.5, 1)\): \(x = 0\) 대입 \(\implies \dfrac{-1}{(2)(-1)} > 0\) (참)
• \((1, \infty)\): \(x = 2\) 대입 \(\implies \dfrac{-5}{(4)(1)} < 0\) (거짓)

해집합:

부등식: \(x < -2\) 또는 \(-0.5 \leq x < 1\)

구간: \((-\infty, -2) \cup [-0.5, 1)\)

1. \(1/\sec x\)를 \(\cos x\)로 다시 씁니다:

\[ \cos(2x) - 2\cos x = 2 \]

2. 배각 공식 \(\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1\)을 사용합니다:

\[ 2\cos^2 x - 1 - 2\cos x = 2 \] \[ 2\cos^2 x - 2\cos x - 3 = 0 \]

3. \(\cos x\)에 대해 근의 공식을 적용합니다:

\[ \cos x = \dfrac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)} = \dfrac{2 \pm \sqrt{28}}{4} = \dfrac{1 \pm \sqrt{7}}{2} \]

4. 값을 평가합니다:

• \(\dfrac{1 + \sqrt{7}}{2} \approx 1.82\) (불가능, \(|\cos x| \leq 1\)이므로)
• \(\dfrac{1 - \sqrt{7}}{2} \approx -0.823\) (유효함)

5. \(x\)를 구합니다: \(x = \arccos\left(\dfrac{1-\sqrt{7}}{2}\right)\). 이는 제2사분면과 제3사분면에서 발생합니다.

\(x \approx 2.54 \text{ rad}\) 및 \(x \approx 3.74 \text{ rad}\).

1. 몫의 법칙을 사용하여 로그를 결합합니다:

\[ \ln\left(\dfrac{x^2 + 2}{x - 1}\right) = 2 \]

2. 지수 형태로 변환합니다:

\[ \dfrac{x^2 + 2}{x - 1} = e^2 \]

3. 이차방정식 형태로 정리합니다:

\[ x^2 + 2 = e^2(x - 1) \implies x^2 - e^2x + (e^2 + 2) = 0 \]

4. 근의 공식을 사용하여 풉니다:

\[ x = \dfrac{e^2 \pm \sqrt{(-e^2)^2 - 4(1)(e^2 + 2)}}{2} \]

참고: 원래의 \(\ln(x-1)\)이 정의되려면 \(x\)는 1보다 커야 합니다. 계산기를 사용하여 소수 값을 찾고 정의역을 확인하세요.

1. \(u = 2^x\)라 합니다. 그러면 \(4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = u^2\)입니다.

2. 방정식에 대입합니다:

\[ 3u^2 + u - 30 = 0 \]

3. 이차식으로 인수분해합니다:

\[ (3u + 10)(u - 3) = 0 \]

4. \(u\)를 구합니다:

• \(u = -10/3\) (제외, \(2^x\)는 양수여야 하므로)
• \(u = 3\) (유효함)

5. \(x\)를 구합니다:

\[ 2^x = 3 \implies x = \dfrac{\ln 3}{\ln 2} \approx 1.58 \]

1. 좌변(LHS)을 다룹니다. \(\tan(2x) = \dfrac{\sin(2x)}{\cos(2x)}\)를 사용합니다:

\[ \text{LHS} = \dfrac{1}{2 \sin x} \cdot \dfrac{\sin(2x)}{\cos(2x)} \]

2. 배각 공식 \(\sin(2x) = 2 \sin x \cos x\)를 사용합니다:

\[ \text{LHS} = \dfrac{1}{2 \sin x} \cdot \dfrac{2 \sin x \cos x}{\cos(2x)} = \dfrac{\cos x}{\cos(2x)} \]

3. 우변(RHS)을 다룹니다. 배각 공식 \(\cos(2x) = 1 - 2 \sin^2 x\)를 상기합니다:

\[ \text{RHS} = \dfrac{\cos x}{1 - 2 \sin^2 x} = \dfrac{\cos x}{\cos(2x)} \]

4. 결론: LHS = RHS. 항등식이 증명되었습니다.

1. 각도를 간단히 합니다: \(\dfrac{13\pi}{12} = \pi + \dfrac{\pi}{12}\). \(\tan(\pi + \theta) = \tan \theta\)이므로:

\[ \tan\left(\dfrac{13\pi}{12}\right) = \tan\left(\dfrac{\pi}{12}\right) \]

2. \(A = \dfrac{\pi}{4}\) 및 \(B = \dfrac{\pi}{6}\)인 차이 공식 \(\tan(A - B) = \dfrac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}\)을 사용합니다:

\[ \tan\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \tan\left(\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1 - 1/\sqrt{3}}{1 + (1)(1/\sqrt{3})} \]

3. 유리화하고 간소화합니다:

\[ = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \dfrac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \dfrac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3} \]

1. 인수 정리에 의해 \(x - 1\)이 인수이므로 \(P(1) = 0\)입니다.

2. 나머지 정리에 의해 \(P(-1) = 4\)이고 \(P(2) = 4\)입니다.

3. 차수가 3이고 최고차항 계수가 1이므로 \(P(x) = (x - 1)(x^2 + bx + c)\)라고 둡니다.

4. \(P(-1) = 4\)를 이용합니다:

\[ (-1 - 1)((-1)^2 - b + c) = 4 \implies -2(1 - b + c) = 4 \implies 1 - b + c = -2 \implies c - b = -3 \]

5. \(P(2) = 4\)를 이용합니다:

\[ (2 - 1)((2)^2 + 2b + c) = 4 \implies 1(4 + 2b + c) = 4 \implies 2b + c = 0 \implies c = -2b \]

6. \(b, c\)를 풉니다: \(c - b = -3\)에 \(c = -2b\)를 대입합니다:

\[ -2b - b = -3 \implies -3b = -3 \implies b = 1, \quad c = -2 \]

7. 최종 다항식: \(P(x) = (x-1)(x^2 + x - 2) = x^3 + x^2 - 2x - x^2 - x + 2 = x^3 - 3x + 2\).

1. \(-x\)를 묶어냅니다: \(f(x) = -x(x^3 + 5x^2 + 3x - 9)\).

2. 3차항의 근을 테스트합니다. \(P(1) = 1 + 5 + 3 - 9 = 0\)입니다. 따라서 \((x - 1)\)이 인수입니다.

3. 나눗셈을 사용하여 이차 인수를 찾습니다: \(x^3 + 5x^2 + 3x - 9 = (x - 1)(x^2 + 6x + 9)\).

4. 이차식을 인수분해합니다: \((x^2 + 6x + 9) = (x + 3)^2\).

완전 인수분해형: \(f(x) = -x(x - 1)(x + 3)^2\).

5. 영점: \(x = 0\) (중복도 1), \(x = 1\) (중복도 1), \(x = -3\) (중복도 2).

1. 그래프에서 영점과 중복도 식별하기:

• \(x = -2\)에서: 그래프가 교차함 (중복도 1).
• \(x = -1\)에서: 그래프가 접함 (중복도 2).
• \(x = 2\)에서: 그래프가 교차함 (중복도 1).

2. 일반형 작성하기: \(g(x) = a(x + 2)(x + 1)^2(x - 2)\).

3. y절편 \((0, 2)\)를 사용하여 \(a\) 구하기:

\[ 2 = a(0 + 2)(0 + 1)^2(0 - 2) \] \[ 2 = a(2)(1)(-2) \] \[ 2 = -4a \implies a = -0.5 \]

최종 방정식:

\[ g(x) = -0.5(x + 2)(x + 1)^2(x - 2) \]

1. 주요 매개변수 식별하기:

• 진폭: 0.5 (중심선에 대해 반사됨)
• 주기: \(2\pi/4 = \pi/2\)
• 위상 이동: \(-\pi/16\) (왼쪽)
• 수직 이동(중심선): \(y = 2.5\)

2. 주요 점 (위상 이동에서 시작, 주기/4 = \(\pi/8\)씩 증가):

• \(x = -\pi/16 \implies y = 2.5\)
• \(x = \pi/16 \implies y = 2.0\) (음의 사인으로 인한 최솟값)
• \(x = 3\pi/16 \implies y = 2.5\)
• \(x = 5\pi/16 \implies y = 3.0\) (최댓값)
• \(x = 7\pi/16 \implies y = 2.5\)

3. \(y = - 0.5 \sin \left( 4(x+\dfrac{\pi}{16}) \right) + 2.5\)의 그래프:

1. 진폭 (\(A\)) 구하기: 최댓값 = 1, 최솟값 = 0.

\[ A = \dfrac{\text{최대} - \text{최소}}{2} = \dfrac{1 - 0}{2} = 0.5 \]

2. 수직 이동 (\(d\)) 구하기:

\[ d = \dfrac{\text{최대} + \text{최소}}{2} = \dfrac{1 + 0}{2} = 0.5 \]

3. 주기 (\(P\)) 구하기: 3초로 주어져 있음.

4. \(b\) 계산하기:

\[ b = \dfrac{2\pi}{P} = \dfrac{2\pi}{3} \]

5. 위상 이동 (\(c\)) 구하기: 코사인 함수의 경우, 이동은 최댓값의 수평 위치와 일치합니다. 문제에 따르면 최댓값은 \(t = 2.25\)에 있습니다.

\[ c = 2.25 \]

최종 방정식:

\[ V(t) = 0.5 \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}(t - 2.25)\right) + 0.5 \]

a) 정의역: 분모가 0이 되는 곳을 제외한 모든 실수. \(x \neq -2\).

b) 절편:

• x절편 (\(y=0\) 대입): \(2x - 4 = 0 \implies x = 2\).
• y절편 (\(x=0\) 대입): \(y = -4/2 = -2\).

c) 점근선:

• 수직 점근선: \(x = -2\).
• 수평 점근선 (\(x \to \infty\)일 때의 극한): \(y = 2/1 = 2\).

\(y = \dfrac{2 x - 4}{x+2}\)의 그래프:

a) 정의역: \(x \in \mathbb{R}, x \neq -2\).

b) 절편: x절편은 \(x = \pm 3\); y절편은 \(y = -4.5\).

c) 점근선:

• 수직 점근선: \(x = -2\).
• 수평 점근선: 없음 (분자의 차수 > 분모의 차수).
• 사선(기울어진) 점근선: 다항식 나눗셈을 사용합니다. \((x^2-9) \div (x+2) = (x-2)\)이고 나머지는 \(-5\)입니다. 점근선은 \(y = x - 2\)입니다.
• 부호 표 \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & (-\infty, -3) & -3 & (-3, -2) & -2 & (-2, 3) & 3 & (3, \infty) \\ \hline (x+3) & - & 0 & + & + & + & + & + \\ \hline (x-3) & - & - & - & - & - & 0 & + \\ \hline (x+2) & - & - & - & \text{und} & + & + & + \\ \hline y = \dfrac{(x+3)(x-3)}{x+2} & \mathbf{-} & 0 & \mathbf{+} & \text{und} & \mathbf{-} & 0 & \mathbf{+} \\ \hline \text{위치} & \text{아래} & x\text{절편} & \text{위} & \text{VA} & \text{아래} & x\text{절편} & \text{위} \\ \hline \end{array} \]
• \( y = \dfrac{x^2-9}{x+2} \):

1. 구멍 식별하기: 구멍은 \(x = 2\)에 있습니다. 이는 \((x - 2)\)가 분자와 분모 모두의 인수여야 함을 의미합니다.

2. 수직 점근선 식별하기: 수직 점근선은 \(x = 1\)에 있습니다. 이는 \((x - 1)\)이 분모의 인수임을 의미합니다.

3. 수평 점근선(HA) 식별하기: 수평 점근선은 \(y = 0\)에 있습니다. 이는 분모의 차수(2차)가 분자의 차수(1차여야 함)보다 큼을 확인해 줍니다.

4. 함수 구성하기:

\[ h(x) = a \cdot \dfrac{x - 2}{(x - 1)(x - 2)} = a \cdot \dfrac{1}{(x - 1)} \]

5. 구멍 \((2, 2)\)를 사용하여 상수 \(a\) 결정하기:

\[ 2 = a \cdot \dfrac{1}{(2 - 1)} \implies a = 2 \]

6. 최종 방정식:

\[ h(x) = \dfrac{2(x - 2)}{(x - 1)(x - 2)} \]

참고: 스케치용 간소화된 형태(구멍 제외)는 \( y = \dfrac{2}{x - 1} \)입니다.

a) 정의역: 진수는 양수여야 합니다. \(x^2 - 1 > 0 \implies x^2 > 1 \implies x > 1\) 또는 \(x < -1\).

b) 절편: y절편은 없음 (0은 정의역에 포함되지 않음). x절편을 구하려면 \(y=0\)으로 둡니다:

\[ -0.5 \log_2(x^2 - 1) = 1 \implies \log_2(x^2 - 1) = -2 \implies x^2 - 1 = 2^{-2} = 0.25 \] \[ x^2 = 1.25 \implies x \approx \pm 1.12 \]

c) 점근선: 진수가 0에 가까워지는 수직 점근선: \(x = 1\) 및 \(x = -1\).

d) \(f(-x) = f(x)\)이므로 그래프는 y축에 대해 대칭입니다.

\( y = -0.5 \log_2(x^2 - 1)-1 \)의 그래프:

a) 정의역: 모든 실수 \((-\infty, \infty)\).

b) 절편: \(x = 0\)에서의 y절편 \(\implies y = 2 + e^{-2} \approx 2.135\). \(e^{(x-2)} + 2\)는 항상 2보다 크므로 x절편은 없습니다.

c) 점근선: \(x \to -\infty\)일 때의 수평 점근선은 \(y = 2\)입니다.

\( y = 2 + e^{(x-2)} \)의 그래프:

a) 정의역: \(2x - 1 > 0 \implies x > 0.5\). 치역: 모든 실수.

b) 역함수 구하기:

\[ x = \ln(2y - 1) + 2 \] \[ x - 2 = \ln(2y - 1) \] \[ e^{x-2} = 2y - 1 \] \[ y = \dfrac{e^{x-2} + 1}{2} \]

역함수: \(h^{-1}(x) = 0.5(e^{x-2} + 1)\).

역함수의 정의역: 모든 실수. 역함수의 치역: \(y > 0.5\).