역삼각함수 간소화하기

다음 식을 간소화하세요:

1. $\sin(\arcsin(x))$ 및 $\arcsin(\sin(x))$
2. $\cos(\arccos(x))$ 및 $\arccos(\cos(x))$
3. $\tan(\arctan(x))$ 및 $\arctan(\tan(x))$

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풀이:

1. 사인과 아크사인은 서로 역함수입니다. 따라서 역함수의 성질을 이용하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

   $$ \sin(\arcsin(x)) = x, \quad \text{for } -1 \leq x \leq 1 $$

   $$ \arcsin(\sin(x)) = x, \quad \text{for } x \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] $$

   참고: $\arcsin(\sin(x))$에서 $x$가 구간 $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$에 있지 않은 경우, $\sin(x) = \sin(\theta)$를 만족하는 구간 $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ 내의 $\theta$를 찾은 다음 $\arcsin(\sin(x)) = \theta$로 간소화합니다.

2. 코사인과 아크코사인은 서로 역함수입니다:

   $$ \cos(\arccos(x)) = x, \quad \text{for } -1 \leq x \leq 1 $$

   $$ \arccos(\cos(x)) = x, \quad \text{for } x \in [0, \pi] $$

   참고: $\arccos(\cos(x))$에서 $x$가 구간 $[0, \pi]$에 있지 않은 경우, $\cos(x) = \cos(\theta)$를 만족하는 구간 $[0, \pi]$ 내의 $\theta$를 찾은 다음 $\arccos(\cos(x)) = \theta$로 간소화합니다.

3. 탄젠트와 아크탄젠트는 서로 역함수입니다:

   $$ \tan(\arctan(x)) = x $$

   $$ \arctan(\tan(x)) = x \quad \text{for } x \in \left( -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right) $$

   참고: $\arctan(\tan(x))$에서 $x$가 구간 $\left( -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right)$에 있지 않은 경우, $\tan(x) = \tan(\theta)$를 만족하는 구간 $\left( -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right)$ 내의 $\theta$를 찾은 다음 $\arctan(\tan(x)) = \theta$로 간소화합니다.

다음 식을 대수식으로 표현하세요:

$$ \sin(\arccos(x)) \quad \text{and} \quad \tan(\arccos(x)) $$

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풀이:

$A = \arccos(x)$라고 합시다. 따라서,

$$ \cos(A) = \cos(\arccos(x)) = x $$

$\cos(A) = x$ (또는 $\dfrac{x}{1}$)가 되도록 각 $A$를 갖는 직각삼각형을 사용합니다. 나머지 한 변을 구하고 $\sin(A)$와 $\tan(A)$를 계산합니다.

$$ \sin(\arccos(x)) = \sin(A) = \dfrac{\sqrt{1 - x^2}}{1} = \sqrt{1 - x^2} \quad \text{for } x \in [-1, 1] $$

$$ \tan(\arccos(x)) = \tan(A) = \dfrac{\sqrt{1 - x^2}}{x} \quad \text{for } x \in [-1, 0) \cup (0, 1] $$

다음 식을 대수식으로 표현하세요:

$$ \cos(\arcsin(x)) \quad \text{and} \quad \tan(\arcsin(x)) $$

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풀이:

$A = \arcsin(x)$라고 합시다. 따라서,

$$ \sin(A) = \sin(\arcsin(x)) = x $$

$\sin(A) = x$ (또는 $\dfrac{x}{1}$)가 되도록 각 $A$를 갖는 직각삼각형을 사용하고, 나머지 한 변을 구하여 $\cos(A)$와 $\tan(A)$를 계산합니다.

$$ \cos(\arcsin(x)) = \cos(A) = \dfrac{\sqrt{1 - x^2}}{1} = \sqrt{1 - x^2} \quad \text{for } x \in [-1, 1] $$

$$ \tan(\arcsin(x)) = \tan(A) = \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \quad \text{for } x \in (-1, 1) $$

다음 식을 대수식으로 표현하세요:

$$ \sin(\arctan(x)) \quad \text{and} \quad \cos(\arctan(x)) $$

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풀이:

$A = \arctan(x)$라고 합시다. 따라서,

$$ \tan(A) = \tan(\arctan(x)) = x $$

$\tan(A) = x$ (또는 $\dfrac{x}{1}$)가 되도록 각 $A$를 갖는 직각삼각형을 사용합니다. 빗변을 구하고 $\sin(A)$와 $\cos(A)$를 계산합니다.

$$ \sin(\arctan(x)) = \sin(A) = \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}} $$

$$ \cos(\arctan(x)) = \cos(A) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}} $$

다음 식을 간소화하세요:

1. $\arccos(0)$, $\arcsin(-1)$, $\arctan(-1)$
2. $\sin(\arcsin(-1/2))$, $\arccos(\cos(\pi/2))$, $\arccos(\cos(-\pi/2))$
3. $\cos(\arcsin(-1/2))$, $\arcsin(\sin(\pi/3))$, $\arcsin(\tan(3\pi/4))$
4. $\arccos(\tan(7\pi/4))$, $\arcsin(\sin(13\pi/3))$, $\arctan(\tan(-17\pi/4))$, $\arcsin(\sin(9\pi/5))$

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풀이:

1. 역함수의 직접적인 정의를 사용합니다:

   $$ \arccos(0) = \dfrac{\pi}{2} \quad \text{because} \quad \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0 \quad \text{and} \quad \dfrac{\pi}{2} \in [0, \pi] $$

   $$ \arcsin(-1) = -\dfrac{\pi}{2} \quad \text{because} \quad \sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = -1 \quad \text{and} \quad -\dfrac{\pi}{2} \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] $$

   $$ \arctan(-1) = -\dfrac{\pi}{4} \quad \text{because} \quad \tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -1 \quad \text{and} \quad -\dfrac{\pi}{4} \in \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right) $$

2. 정의를 사용하여 안쪽 함수를 먼저 간소화한 다음 바깥쪽 함수를 간소화합니다:

   $$ \sin\left(\arcsin\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right) = \sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2} $$

   $$ \arccos\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right) = \arccos(0) = \dfrac{\pi}{2} $$

   $$ \arccos\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\right) = \arccos(0) = \dfrac{\pi}{2} $$

3. 안쪽 함수를 간소화한 다음 바깥쪽 함수를 간소화합니다:

   $$ \cos\left(\arcsin\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right) = \cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $$

   $$ \arcsin\left(\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right) = \arcsin\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \dfrac{\pi}{3} $$

   $$ \arcsin\left(\tan\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\right) = \arcsin(-1) = -\dfrac{\pi}{2} $$

4. 역함수를 적용하기 전에 각도가 올바른 구간 내에 오도록 조정합니다:

   $$ \arccos\big(\tan(7\pi/4)\big) = \arccos(-1) = \pi $$

   $$ \arcsin\big(\sin(13\pi/3)\big) = \arcsin\big(\sin(4\pi + \pi/3)\big) = \arcsin\big(\sin(\pi/3)\big) = \pi/3 $$

   $$ \arctan\big(\tan(-17\pi/4)\big) = \arctan\big(\tan(-4\pi - \pi/4)\big) = \arctan\big(\tan(-\pi/4)\big) = -\pi/4 $$

   $$ \arcsin\big(\sin(9\pi/5)\big) = \arcsin\big(\sin(2\pi - \pi/5)\big) = \arcsin\big(\sin(-\pi/5)\big) = -\pi/5 $$

$A = \arcsin(2/3)$이고 $B = \arccos(-1/2)$일 때, $\sin(A + B)$의 정확한 값을 구하세요.

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풀이:

삼각함수의 덧셈 정리를 사용합니다:

$$ \sin(A + B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B) $$

$A$와 $B$를 대입하여 주어진 식을 전개합니다:

$$ \sin(A + B) = \sin(\arcsin(\tfrac{2}{3}))\cos(\arccos(-\tfrac{1}{2})) + \cos(\arcsin(\tfrac{2}{3}))\sin(\arccos(-\tfrac{1}{2})) $$

역함수 항등식을 사용하여 각 항을 개별적으로 간소화합니다:

• $\sin(\arcsin(\tfrac{2}{3})) = \tfrac{2}{3}$
• $\cos(\arccos(-\tfrac{1}{2})) = -\tfrac{1}{2}$
• $\cos(\arcsin(\tfrac{2}{3})) = \sqrt{1 - \left(\tfrac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{\tfrac{5}{9}} = \tfrac{\sqrt{5}}{3}$
• $\sin(\arccos(-\tfrac{1}{2})) = \sqrt{1 - \left(-\tfrac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\tfrac{3}{4}} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$

전개된 식에 이 값들을 다시 대입하고 계산합니다:

$$ \sin(A + B) = \left(\tfrac{2}{3}\right)\left(-\tfrac{1}{2}\right) + \left(\tfrac{\sqrt{5}}{3}\right)\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\tfrac{1}{3} + \tfrac{\sqrt{15}}{6} $$

$Y = \sin(2 \arcsin(x))$를 대수식으로 표현하세요.

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풀이:

$A = \arcsin(x)$라고 합시다. 따라서 $Y$는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

$$ Y = \sin(2A) $$

배각 공식 $\sin(2A) = 2 \sin(A) \cos(A)$를 사용하여 $Y$를 다시 씁니다:

$$ Y = 2 \sin(A) \cos(A) = 2 \sin(\arcsin(x)) \cos(\arcsin(x)) $$

표준 항등식 $\sin(\arcsin(x)) = x$와 $\cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1 - x^2}$을 적용하여 최종 식을 도출합니다:

$$ Y = 2 x \sqrt{1 - x^2} $$

$Y = \sin(2 \arctan(3/4))$의 정확한 값을 구하세요.

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풀이:

$A = \arctan\left(\dfrac{3}{4}\right)$라고 합시다. 따라서 $Y$는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

$$ Y = \sin(2A) = 2 \sin(A) \cos(A) $$

아크탄젠트에 대한 표준 대수적 변환 성질을 사용하여 안쪽 함수의 값을 구합니다:

$$ \sin(A) = \sin\left(\arctan\left(\dfrac{3}{4}\right)\right) = \dfrac{\dfrac{3}{4}}{\sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{4}\right)^2}} = \dfrac{3}{5} $$

$$ \cos(A) = \cos\left(\arctan\left(\dfrac{3}{4}\right)\right) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{4}\right)^2}} = \dfrac{4}{5} $$

이를 배각 공식에 대입합니다:

$$ Y = 2 \times \dfrac{3}{5} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{24}{25} $$