일반 형태인 다음과 같은 사인 및 코사인 함수를 스케치하는 방법을 배우세요:
$$ y = a \sin\bigl(k (x - d)\bigr) + c \quad \text{and} \quad y = a \cos\bigl(k (x - d)\bigr) + c $$
명확한 설명, 단계별 예제, 상세한 풀이를 통해 이 입문서는 진폭, 주기, 위상 이동, 수직 평행이동과 같은 핵심 개념을 다루어 삼각함수 그래프를 마스터하는 데 도움을 줍니다.
그래프 매개변수
진폭 (Amplitude): $ |a| $
주기 (Period): $ \dfrac{2\pi}{|k|} $
수평 이동 (위상 이동, Phase Shift): $d$. $-d$가 양수이면 왼쪽으로, 음수이면 오른쪽으로 이동합니다.
수직 이동 (Vertical Shift): $c$. $c$가 양수이면 위로, 음수이면 아래로 이동합니다.
단위 원 기초
변환된 사인 및 코사인 함수를 스케치하려면 기본 사인 및 코사인 함수를 스케치하는 방법을 알아야 합니다. 단위 원(반지름 = 1)은 더 복잡한 함수를 그래프로 그리는 데 사용할 수 있는 5가지 주요 지점에서 $\sin(x)$와 $\cos(x)$의 값을 제공합니다. 단위 원상의 모든 점의 좌표는 해당 점에 해당하는 표준 위치의 각도의 코사인과 사인을 제공합니다.
- 각 $x = 0$은 다음 점에 해당합니다: $ (1, 0) = (\cos(0), \sin(0)) $
- 각 $x = \pi/2$ (또는 90°)는 다음 점에 해당합니다: $ (0, 1) = (\cos(\pi/2), \sin(\pi/2)) $
- 각 $x = \pi$ (또는 180°)는 다음 점에 해당합니다: $ (-1, 0) = (\cos(\pi), \sin(\pi)) $
- 각 $x = 3\pi/2$ (또는 270°)는 다음 점에 해당합니다: $ (0, -1) = (\cos(3\pi/2), \sin(3\pi/2)) $
- 각 $x = 2\pi$ (또는 360°)는 다음 점에 해당합니다: $ (1, 0) = (\cos(2\pi), \sin(2\pi)) $
사인 및 코사인 함수 스케치: 상세 풀이가 포함된 예제
예제 1: 수직 신축 및 평행이동
한 주기 동안 $y = 2 \cos(x) + 1$의 그래프를 스케치하세요.
풀이:
그래프 매개변수
- 진폭: $|2| = 2$
- 주기: $2\pi$
- 수직 이동: $1$ (위로 1단위)
- 수평 이동: $0$
함수 $y = 2 \cos(x) + 1$의 그래프를 그리는 세 단계:
1) 단위 원의 $x$ 및 $y$ 값을 사용하여 $y = \cos(x)$를 스케치하는 것으로 시작합니다(아래 파란색 그래프).
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & \dfrac{\pi}{2} & \pi & \dfrac{3\pi}{2} & 2\pi \\ \hline y & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ \hline \end{array} $$
2) 그런 다음 $y = \cos(x)$를 2배로 신축하여 $y = 2 \cos(x)$를 스케치합니다(아래 초록색 그래프).
3) 마지막으로 위로 1단위 평행이동하여 $y = 2 \cos(x) + 1$을 스케치합니다(아래 빨간색 그래프).
예제 2: 수직 신축, 평행이동 및 대칭 반사
한 주기 동안 $y = - 2 \sin(x) - 1$의 그래프를 스케치하세요.
풀이:
그래프 매개변수
- 진폭: $|-2| = 2$
- 주기: $2\pi$
- 수직 이동: $-1$ (아래로 1단위)
- 수평 이동: $0$
함수 $y = - 2 \sin(x) - 1$의 그래프를 그리는 세 단계:
1) 단위 원의 $x$ 및 $y$ 값을 사용하여 $y = \sin(x)$를 스케치하는 것으로 시작합니다(아래 파란색 그래프).
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & \dfrac{\pi}{2} & \pi & \dfrac{3\pi}{2} & 2\pi \\ \hline y & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ \hline \end{array} $$
2) 그 다음 $y = \sin(x)$를 2배로 신축하고 x축에 대해 대칭 반사하여 $y = - 2 \sin(x)$를 스케치합니다(아래 초록색 그래프).
3) 마지막으로 아래로 1단위 평행이동하여 $y = - 2 \sin(x) - 1$을 스케치합니다(아래 빨간색 그래프).
예제 3: 주기 변경 및 위상 이동
한 주기 동안 $y = 3 \cos(2x + \dfrac{\pi}{3}) - 1$의 그래프를 스케치하세요.
풀이:
그래프 매개변수
- 진폭: $|3| = 3$
- 주기: $\dfrac{2\pi}{2} = \pi$
- 수직 이동: $-1$ (아래로 1단위)
수평 이동: $\dfrac{\pi}{3}$ 항으로 인해 그래프가 수평으로 이동합니다. 먼저 주어진 함수를 다음과 같이 다시 씁니다:
$$ y = 3 \cos\left[ 2\left( x + \dfrac{\pi}{6} \right) \right] - 1 $$
이제 이동이 왼쪽으로 $\dfrac{\pi}{6}$만큼 이동한 것임을 확인할 수 있습니다.
함수 $y = 3 \cos(2x + \dfrac{\pi}{3}) - 1$의 그래프를 그리는 세 단계:
1) 한 주기 $= \pi$ 동안 최솟값과 최댓값이 각각 -3과 +3인 $3 \cos(2x)$를 스케치하는 것으로 시작합니다(아래 파란색 그래프).
2) 이전 그래프를 아래로 1단위 평행이동하여 $y = 3 \cos(2x) - 1$을 스케치합니다(아래 초록색 그래프).
3) 이제 이전 그래프를 왼쪽으로 $\dfrac{\pi}{6}$만큼 평행이동하여(아래 빨간색 그래프) 스케치된 주기가 $-\dfrac{\pi}{6}$에서 시작하여 $-\dfrac{\pi}{6} + \pi = \dfrac{5\pi}{6}$에서 끝나도록 합니다. 이는 한 주기 $= \pi$에 해당합니다.
예제 4: 소수 매개변수
한 주기 동안 $y = -0.2 \sin\left(0.5x - \dfrac{\pi}{6} \right) + 0.1$의 그래프를 스케치하세요.
풀이:
그래프 매개변수
- 진폭: $|-0.2| = 0.2$
- 주기: $\dfrac{2\pi}{0.5} = 4\pi$
- 수직 이동: $0.1$ (위로 0.1단위)
수평 이동: $- \dfrac{\pi}{6}$ 항으로 인해 그래프가 수평으로 이동합니다. 먼저 주어진 함수를 다음과 같이 다시 씁니다:
$$ y = -0.2 \sin\left( 0.5\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) \right) + 0.1 $$
이제 이동이 오른쪽으로 $\dfrac{\pi}{3}$만큼 이동한 것임을 확인할 수 있습니다.
함수 $y = -0.2 \sin\left(0.5x - \dfrac{\pi}{6} \right) + 0.1$의 그래프를 그리는 세 단계:
1) 한 주기 $= 4\pi$ 동안 최솟값과 최댓값이 각각 $-0.2$와 $0.2$인 $y = -0.2 \sin(0.5x)$를 스케치하는 것으로 시작합니다(아래 파란색 그래프).
2) 이전 그래프를 위로 0.1단위 평행이동하여 $y = -0.2 \sin(0.5x) + 0.1$을 스케치합니다(아래 초록색 그래프).
3) 그 다음 이전 그래프를 오른쪽으로 $\dfrac{\pi}{3}$만큼 평행이동하여(아래 빨간색 그래프) 스케치된 주기가 $\dfrac{\pi}{3}$에서 시작하여 $\dfrac{\pi}{3} + 4\pi$에서 끝나도록 합니다. 이는 한 주기 $= 4\pi$에 해당합니다.
예제 5: 각도(도) 단위 사용
한 주기 동안 $y = 2 \cos(2x - 60^\circ) - 2$의 그래프를 스케치하세요.
풀이:
그래프 매개변수
- 진폭: $|2| = 2$
- 주기: $\dfrac{360^\circ}{2} = 180^\circ$
- 수직 이동: $-2$ (아래로 2단위)
수평 이동: $-60^\circ$ 항으로 인해 그래프가 수평으로 이동합니다. 먼저 주어진 함수를 다음과 같이 다시 씁니다:
$$ y = 2 \cos\left[ 2 \left( x - 30^\circ \right) \right] - 2 $$
이제 이동이 오른쪽으로 $30^\circ$만큼 이동한 것임을 확인할 수 있습니다.
함수 $y = 2 \cos(2x - 60^\circ) - 2$의 그래프를 그리는 세 단계:
1) 한 주기 $= 180^\circ$ 동안 최솟값과 최댓값이 각각 $-2$와 $+2$인 $y = 2 \cos(2x)$를 스케치하는 것으로 시작합니다(아래 파란색 그래프).
2) 이전 그래프를 아래로 2단위 평행이동하여 $y = 2 \cos(2x) - 2$를 스케치합니다(아래 초록색 그래프).
3) 마지막으로 이전 그래프를 오른쪽으로 $30^\circ$만큼 평행이동하여(아래 빨간색 그래프) 스케치된 주기가 $30^\circ$에서 시작하여 $30^\circ + 180^\circ = 210^\circ$에서 끝나도록 합니다. 이는 한 주기 $= 180^\circ$에 해당합니다.
예제 6: 분수 주기
한 주기 동안 $y = -2 \sin\left(\dfrac{x}{3} + \dfrac{\pi}{3}\right) - 1$의 그래프를 스케치하세요.
풀이:
그래프 매개변수
- 진폭: $|-2| = 2$
- 주기: $\dfrac{2\pi}{\dfrac{1}{3}} = 6\pi$
- 수직 이동: $-1$ (아래로 1단위)
수평 이동: $\dfrac{\pi}{3}$ 항으로 인해 그래프가 수평으로 이동합니다. 먼저 주어진 함수를 다음과 같이 다시 씁니다:
$$ y = -2 \sin\left(\dfrac{1}{3}(x + \pi)\right) - 1 $$
이제 이동이 왼쪽으로 $\pi$만큼 이동한 것임을 확인할 수 있습니다.
함수 $y = -2 \sin\left(\dfrac{x}{3} + \dfrac{\pi}{3}\right) - 1$의 그래프를 그리는 세 단계:
1) 한 주기 $= 6\pi$ 동안 최솟값과 최댓값이 각각 $-2$와 $+2$인 $-2 \sin\left(\dfrac{x}{3}\right)$를 스케치하는 것으로 시작합니다(아래 파란색 그래프).
2) 이전 그래프를 아래로 1단위 평행이동하여 $y = -2 \sin\left(\dfrac{x}{3}\right) - 1$을 스케치합니다(아래 초록색 그래프).
3) 그 다음 이전 그래프를 왼쪽으로 $\pi$만큼 평행이동하여(아래 빨간색 그래프) 스케치된 주기가 $-\pi$에서 시작하여 $5\pi$에서 끝나도록 합니다. 이는 한 주기 $= 6\pi$에 해당합니다.
