arcsin, arccos, arctan과 같은 역삼각함수가 포함된 방정식을 푸는 방법을 배우세요. 이 가이드는 12학년 수학 학생들을 위해 설계되었으며 일반적인 역삼각함수 방정식에 대한 단계별 풀이를 포함합니다. 각 풀이는 동일한 좌표계에 방정식의 양변을 그려서 그래픽(그래프) 방법으로도 검증됩니다. 교점은 대략적인 해를 제공하여 학생들이 방정식을 시각화하고 개념을 더 깊이 이해하는 데 도움을 줍니다.
단계별 문제 및 풀이
문제 1
방정식 $3 \arcsin(x) = \dfrac{\pi}{2}$에서 $x$를 구하세요.
풀이:
방정식의 양변을 3으로 나눕니다.
$$ \arcsin(x) = \dfrac{\pi}{6} $$
양변에 $\sin$을 적용하고 정리합니다.
$$ \sin(\arcsin(x)) = \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) $$
위 식은 다음과 같이 간단해집니다
$$ x = \dfrac{1}{2} $$
$\arcsin(x)$의 정의역 때문에 얻어진 해가 유효한지 확인해야 합니다.
해답 검토:
$x = \dfrac{1}{2}$일 때
- 방정식의 우변: $3 \arcsin\left(\dfrac{1}{2}\right) = 3 \cdot \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}$
- 방정식의 좌변: $\dfrac{\pi}{2}$
위 방정식의 해는 $x = \dfrac{1}{2}$입니다.
주어진 방정식의 해에 대한 그래픽 근사값은 아래와 같습니다. 주어진 방정식의 좌변과 우변을 구성하는 그래프들의 교점의 x좌표는 $0.5$이며, 이는 대수적으로 구한 해와 같습니다.
문제 2
방정식 $3 \cot(\arccos(x)) = 2$에서 $x$를 구하세요.
풀이:
주어진 방정식의 양변을 3으로 나누고 정리합니다.
$$ \cot(\arccos(x)) = \dfrac{2}{3} $$
$A = \arccos(x)$로 놓고 양변에 $\cos$을 적용하여 다음을 얻습니다.
$$ \cos(A) = \cos(\arccos(x)) = x $$
위의 $A$의 정의를 사용하면 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$ \cot(A) = \dfrac{2}{3} $$
$\cot(A) = \dfrac{2}{3}$를 사용하여 직각삼각형을 구성하고 $\cos(A)$를 구합니다. 빗변 $h$를 먼저 구합니다.
$$ h = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} $$
이제 위에 표시된 동일한 삼각형을 사용하여 $\cos(A)$를 구합니다.
$$ x = \cos(A) = \dfrac{2}{\sqrt{13}} \approx 0.55 $$
주어진 방정식의 해에 대한 그래픽 근사값은 아래와 같습니다.
문제 3
방정식 $\arcsin(x) = \arccos(x)$에서 $x$를 구하세요.
풀이:
양변에 $\sin$ 함수를 적용합니다.
$$ \sin(\arcsin(x)) = \sin(\arccos(x)) $$
항등식 $\sin(\arcsin(A)) = A$를 사용하여 좌변을 정리합니다.
$$ x = \sin(\arccos(x)) $$
$A = \arccos(x)$라고 하면 $\cos(A) = x$입니다. 직각삼각형 삼각함수(또는 피타고라스 항등식)를 사용하여:
$$ \sin(\arccos(x)) = \sin(A) = \pm \sqrt{1 - x^2} $$
위 식을 사용하여 주어진 방정식을 대수적 형태로 다시 씁니다.
$$ x = \pm \sqrt{1 - x^2} $$
양변을 제곱합니다.
$$ x^2 = 1 - x^2 $$
$$ 2x^2 = 1 $$
$$ x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}} $$
arccos 함수의 정의역과 방정식의 양변을 제곱했다는 사실 때문에 해를 검토하고 무연근(잘못된 해)을 제거해야 합니다.
해답 검토:
1) $x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 일 때
- 좌변: $\arcsin\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \dfrac{\pi}{4}$
- 우변: $\arccos\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \dfrac{\pi}{4}$
$\implies x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$는 주어진 방정식의 해입니다.
2) $x = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 일 때
- 좌변: $\arcsin\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\dfrac{\pi}{4}$
- 우변: $\arccos\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \dfrac{3\pi}{4}$
$\implies x = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$는 주어진 방정식의 해가 아닙니다.
주어진 방정식의 해에 대한 그래픽 근사값은 아래와 같습니다. 교점의 x좌표 $0.71$은 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$에 가깝습니다.
문제 4
방정식 $\arccos(x) = \arcsin(x) + \dfrac{\pi}{2}$에서 $x$를 구하세요.
풀이:
양변에 $\cos$ 함수를 적용합니다.
$$ \cos(\arccos(x)) = \cos\left(\arcsin(x) + \dfrac{\pi}{2}\right) $$
항등식 $\cos(\arccos(A)) = A$를 사용하여 좌변을 정리합니다.
$$ x = \cos\left(\arcsin(x) + \dfrac{\pi}{2}\right) $$
합각 공식 $\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$를 사용하여 우변을 전개합니다.
$$ x = \cos(\arcsin(x))\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) - \sin(\arcsin(x))\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) $$
알려진 값 사용: $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$, $\sin(\arcsin(x)) = x$, $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1$.
$$ x = \cos(\arcsin(x)) \cdot 0 - x \cdot 1 $$
$$ x = -x $$
$$ 2x = 0 $$
$$ x = 0 $$
해답 검토:
- 좌변: $\arccos(0) = \dfrac{\pi}{2}$
- 우변: $\arcsin(0) + \dfrac{\pi}{2} = 0 + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2}$
$x = 0$은 주어진 방정식의 유효한 해입니다.
주어진 방정식의 해에 대한 그래픽 근사값은 아래와 같습니다. 교점의 x좌표는 위에서 대수적으로 계산한 값과 정확히 같은 $0$입니다.
문제 5
방정식 $\arccos(2x) = \dfrac{\pi}{3} + \arccos(x)$에서 $x$를 구하세요.
풀이:
양변에 코사인 함수를 적용합니다.
$$ \cos(\arccos(2x)) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3} + \arccos(x)\right) $$
역함수 항등식을 사용하여 좌변을 정리하고, 합각 공식을 사용하여 우변을 전개합니다.
좌변: $\cos(\arccos(2x)) = 2x$
우변:
$$ \cos\left(\dfrac{\pi}{3} + \arccos(x)\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\cos(\arccos(x)) - \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\sin(\arccos(x)) $$
$$ = \dfrac{1}{2}x \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1 - x^2} $$
양변을 같게 놓고, 근호가 우변에 고립되도록 방정식을 다시 씁니다.
$$ 2x = \dfrac{x}{2} \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1 - x^2} $$
$$ \dfrac{3x}{2} = \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{1 - x^2} $$
양변을 제곱합니다.
$$ \dfrac{9x^2}{4} = \dfrac{3}{4}(1 - x^2) $$
분모를 없애기 위해 4를 곱합니다:
$$ 9x^2 = 3(1 - x^2) $$
$$ 9x^2 = 3 - 3x^2 $$
$$ 12x^2 = 3 $$
$$ x^2 = \dfrac{1}{4} $$
$$ x = \pm \dfrac{1}{2} $$
해답 검토:
1) $x = \dfrac{1}{2}$ 일 때
- 좌변: $\arccos\left(2 \cdot \dfrac{1}{2}\right) = \arccos(1) = 0$
- 우변: $\dfrac{\pi}{3} + \arccos\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}$
$\implies x = \dfrac{1}{2}$는 해가 아닙니다.
2) $x = -\dfrac{1}{2}$ 일 때
- 좌변: $\arccos\left(2 \cdot -\dfrac{1}{2}\right) = \arccos(-1) = \pi$
- 우변: $\dfrac{\pi}{3} + \arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{2\pi}{3} = \pi$
$\implies x = -\dfrac{1}{2}$는 주어진 방정식의 유효한 해입니다.
주어진 방정식의 해에 대한 그래픽 근사값은 아래와 같습니다. 교점의 x좌표는 대수적으로 구한 값과 정확히 같은 $-0.5$입니다.
