수학 속의 소인수분해
상세한 해답이 포함된 7학년 문제

수학에서 숫자의 소인수분해란 무엇일까요? 이 페이지는 단계별 상세한 해답과 함께 7학년 수학 문제를 제공합니다. 각 문제 아래의 화살표를 클릭하여 설명을 확인하세요.

인수란 무엇입니까?

인수(Factor)란 서로 곱했을 때 다른 숫자가 되는 숫자들을 말합니다.

소인수분해란 무엇입니까?

소인수분해는 숫자를 소수로만 이루어진 인수로 분해하는 과정입니다.

소인수분해를 구하는 방법

소인수분해는 모든 합성수에 대해 유일하며, 2, 3, 5, 7, 11 등 소수를 이용한 연속 나누기를 통해 구할 수 있습니다.

예시 1: 연속 나누기 (30의 소인수분해)

1단계: 주어진 수가 나누어떨어지면 첫 번째 소수(2)로 나눕니다. 나누어떨어지지 않으면 다음 소수(3, 5, 7...)를 시도합니다.
$30 \div \mathbf{2} = 15$

2단계: 1단계의 결과를 가장 작은 가능한 소수로 나눕니다.
$15 \div \mathbf{3} = \mathbf{5}$

3단계: 2단계에서의 나눈 결과가 소수인 5가 되었습니다. 여기서 멈춥니다.
소인수분해는 모든 나누는 수와 최종 소수 결과를 포함합니다:
$30 = 2 \times 3 \times 5$

예시 2: 인수분해 나무 방법 (60의 소인수분해)

"나무 방법"은 나누기와 정확히 같은 논리를 기반으로 하지만, 시각적인 표현을 통해 인수의 갈래를 쉽게 파악할 수 있도록 돕습니다.

숫자 60의 소인수분해 인수 나무 예시

연습 문제

  1. 다음 중 소인수분해가 아닌 것은 무엇입니까?
    1. $20 = 2 \times 10$
    2. $14 = 2 \times 7$
    3. $64 = 4^3$
    4. $120 = 2^3 \times 15$
    해답 보기

    정답: a, c, d는 소인수분해가 아닙니다.

    소인수분해는 오직 소수만을 포함해야 합니다.

    • a) $20 = 2 \times 10$: 숫자 $10$은 소수가 아니라 합성수입니다.
    • c) $64 = 4^3$: 밑수인 $4$가 합성수입니다. (올바른 소인수분해는 $2^6$입니다).
    • d) $120 = 2^3 \times 15$: 숫자 $15$는 합성수입니다. (올바른 소인수분해는 $2^3 \times 3 \times 5$입니다).
  2. 다음 수들의 소인수분해를 구하시오.
    1. $28$
    2. $32$
    3. $100$
    4. $126$
    5. $900$
    해답 보기

    최종 몫이 소수가 될 때까지 각 숫자를 소수로 연속해서 나눕니다:

    1. $28 = 2 \times 2 \times 7 = \mathbf{2^2 \times 7}$
    2. $32 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = \mathbf{2^5}$
    3. $100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5 = \mathbf{2^2 \times 5^2}$
    4. $126 = 2 \times 3 \times 3 \times 7 = \mathbf{2 \times 3^2 \times 7}$
    5. $900 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 = \mathbf{2^2 \times 3^2 \times 5^2}$
  3. 두 수 A와 B가 다음과 같이 주어져 있습니다:
    $A = 2^3 \times 5^2 \times 11$ 이고 $B = 2^2 \times 5 \times 13$.
    $A \times B$의 소인수분해는 무엇입니까?
    해답 보기

    두 소인수분해를 서로 곱합니다:

    $A \times B = (2^3 \times 5^2 \times 11) \times (2^2 \times 5 \times 13)$

    밑이 같은 것끼리 묶고 지수를 더합니다:

    $A \times B = (2^3 \times 2^2) \times (5^2 \times 5^1) \times 11 \times 13$

    $A \times B = \mathbf{2^5 \times 5^3 \times 11 \times 13}$

  4. $100$과 $70$의 소인수분해를 구하십시오. 그런 다음, $7000 = 100 \times 70$임을 이용하여 $7000$의 소인수분해를 구하십시오.
    해답 보기

    먼저 각각의 소인수분해를 구합니다:

    $100 = 2^2 \times 5^2$

    $70 = 2 \times 5 \times 7$

    $7000 = 100 \times 70$이라는 사실을 사용하여 인수를 결합합니다:

    $7000 = (2^2 \times 5^2) \times (2^1 \times 5^1 \times 7^1)$

    지수를 더하여 같은 밑끼리 결합합니다:

    $7000 = \mathbf{2^3 \times 5^3 \times 7}$

  5. 10의 거듭제곱에서 패턴 발견하기:
    1. $10$의 소인수분해를 구하십시오.
    2. (a)의 결과와 $100 = 10 \times 10$이라는 사실을 이용하여 $100$의 소인수분해를 구하십시오.
    3. (a)의 결과와 $1000 = 10 \times 10 \times 10$이라는 사실을 이용하여 $1000$의 소인수분해를 구하십시오.
    4. 위의 결과들을 사용하여 패턴을 파악하고 $1,000,000$의 소인수분해를 구하십시오.
    해답 보기
    1. $10 = \mathbf{2 \times 5}$
    2. $100 = 10 \times 10 = 10^2 = (2 \times 5) \times (2 \times 5) = \mathbf{2^2 \times 5^2}$
    3. $1000 = 10 \times 10 \times 10 = 10^3 = (2 \times 5) \times (2 \times 5) \times (2 \times 5) = \mathbf{2^3 \times 5^3}$
    4. 위에서 확립된 패턴에 따라 $10^n = 2^n \times 5^n$입니다. 따라서 백만(1,000,000)의 경우:
      $1,000,000 = 10^6 = (2 \times 5)^6 = \mathbf{2^6 \times 5^6}$

기타 참고 자료 및 링크

홈페이지