방정식 풀이: 질문 및 단계별 해답 - 9학년

유도 예제

등식의 성질이 어떻게 미지수를 격리하고, 괄호를 처리하며, 분수를 없애는 데 적용되는지 유도 예제를 통해 살펴보세요.

1. 간단한 방정식: 방정식 \( 2x + 1 = -5 \)를 풀고 얻은 해를 검산하시오.

   단계별 해답 보기

   핵심 아이디어는 방정식 한쪽에 \( x \)를 격리하는 것입니다. 양변에서 \( 1 \)을 뺍니다:

   \[ \begin{aligned} 2x + 1 - 1 &= -5 - 1 \\ 2x &= -6 \end{aligned} \]

   양변을 2로 나눕니다:

   \[ \begin{aligned} \dfrac{2x}{2} &= \dfrac{-6}{2} \\ x &= -3 \end{aligned} \]

   해 검산하기:
   좌변 (LHS): \( 2(-3) + 1 = -6 + 1 = -5 \)
   우변 (RHS): \( -5 \)
   좌변 = 우변이므로, \( x = -3 \)은 올바릅니다.

2. 양변에 미지수가 있는 방정식: 방정식 \( x - 2 - 3x = -7 - x \)를 풀고 해를 검산하시오.

   단계별 해답 보기

   먼저 좌변의 동류항(\( x \)와 \( -3x \))을 묶습니다:

   \[ -2x - 2 = -7 - x \]

   상수항을 우변으로 옮기기 위해 양변에 \( 2 \)를 더합니다:

   \[ -2x = -x - 5 \]

   미지수 항을 좌변으로 옮기기 위해 양변에 \( x \)를 더합니다:

   \[ \begin{aligned} -2x + x &= -5 \\ -x &= -5 \end{aligned} \]

   양변에 \( -1 \)을 곱하거나 나눕니다:

   \[ x = 5 \]

   해 검산하기:
   좌변: \( 5 - 2 - 3(5) = 5 - 2 - 15 = -12 \)
   우변: \( -7 - (5) = -12 \)
   좌변 = 우변이므로, \( x = 5 \)는 올바릅니다.

3. 괄호가 포함된 방정식: 방정식 \( -2(x - 2) + 3 = 3(-x + 4) - 3 \)을 푸시오.

   단계별 해답 보기

   분배 법칙 \( a(b+c) = ab + ac \)을 사용하여 양변의 괄호를 풉니다:

   \[ -2x + 4 + 3 = -3x + 12 - 3 \]

   양변의 동류항을 정리합니다:

   \[ -2x + 7 = -3x + 9 \]

   \( x \)를 격리하기 위해 양변에 \( 3x \)를 더하고 \( 7 \)을 뺍니다:

   \[ \begin{aligned} -2x + 3x &= 9 - 7 \\ x &= 2 \end{aligned} \]

   해 검산하기:
   좌변: \( -2(2 - 2) + 3 = -2(0) + 3 = 3 \)
   우변: \( 3(-2 + 4) - 3 = 3(2) - 3 = 6 - 3 = 3 \)
   좌변 = 우변이므로, \( x = 2 \)는 올바릅니다.

4. 분수가 포함된 방정식: 방정식 \( \dfrac{x}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} \)을 푸시오.

   단계별 해답 보기

   분수를 없애기 위해, 분모 3과 2의 최소공배수(LCM)인 6을 양변에 곱합니다.

   \[ 6 \left( \dfrac{x}{3} - \dfrac{1}{2} \right) = 6 \left( \dfrac{1}{3} \right) \]

   6을 모든 항에 분배합니다:

   \[ \begin{aligned} \dfrac{6x}{3} - \dfrac{6}{2} &= \dfrac{6}{3} \\ 2x - 3 &= 2 \end{aligned} \]

   양변에 3을 더한 후 2로 나눕니다:

   \[ \begin{aligned} 2x &= 5 \\ x &= \dfrac{5}{2} \end{aligned} \]

   해 검산하기:
   좌변: \( \dfrac{1}{3} \left(\dfrac{5}{2}\right) - \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \)
   좌변 = 우변이므로, \( x = \dfrac{5}{2} \)는 올바릅니다.

연습 문제

다음 방정식을 풀고 해를 검산하여 정답을 확인하세요.

1. \( 2x + 2 = 6 \)

   단계별 해답 보기

   양변에서 2를 뺍니다:

   \[ \begin{aligned} 2x + 2 - 2 &= 6 - 2 \\ 2x &= 4 \end{aligned} \]

   양변을 2로 나눕니다:

   \[ \begin{aligned} \dfrac{2x}{2} &= \dfrac{4}{2} \\ x &= 2 \end{aligned} \]

   검산: 좌변: \( 2(2) + 2 = 4 + 2 = 6 \). 양변이 서로 같습니다.

2. \( 5y - 2 = 7y - 8 \)

   단계별 해답 보기

   양변에서 \( 5y \)를 뺍니다:

   \[ \begin{aligned} 5y - 2 - 5y &= 7y - 8 - 5y \\ -2 &= 2y - 8 \end{aligned} \]

   양변에 8을 더합니다:

   \[ \begin{aligned} -2 + 8 &= 2y \\ 6 &= 2y \end{aligned} \]

   2로 나눕니다:

   \[ y = 3 \]

   검산: 좌변: \( 5(3) - 2 = 13 \). 우변: \( 7(3) - 8 = 13 \). 양변이 서로 같습니다.

3. \( -2x + 4 + 5x = 7 + 4x - 3 \)

   단계별 해답 보기

   양변의 동류항을 정리합니다:

   \[ 3x + 4 = 4x + 4 \]

   양변에서 \( 3x \)를 빼고 4를 뺍니다:

   \[ \begin{aligned} 4 - 4 &= 4x - 3x \\ 0 &= x \end{aligned} \]

   검산: 좌변: \( -2(0) + 4 + 5(0) = 4 \). 우변: \( 7 + 4(0) - 3 = 4 \). 양변이 서로 같습니다.

4. \( 0.2d + 4 = -0.1d - 2 \)

   단계별 해답 보기

   양변에 \( 0.1d \)를 더하고 양변에서 4를 뺍니다:

   \[ \begin{aligned} 0.2d + 0.1d &= -2 - 4 \\ 0.3d &= -6 \end{aligned} \]

   양변을 0.3으로 나눕니다:

   \[ \begin{aligned} d &= \dfrac{-6}{0.3} \\ d &= -20 \end{aligned} \]

   검산: 좌변: \( 0.2(-20) + 4 = -4 + 4 = 0 \). 우변: \( -0.1(-20) - 2 = 2 - 2 = 0 \). 양변이 서로 같습니다.

5. \( -2(2x - 6) = -(x - 4) \)

   단계별 해답 보기

   분배 법칙을 사용하여 양변을 전개합니다:

   \[ -4x + 12 = -x + 4 \]

   양변에 \( 4x \)를 더하고 4를 뺍니다:

   \[ \begin{aligned} 12 - 4 &= -x + 4x \\ 8 &= 3x \end{aligned} \]

   3으로 나눕니다:

   \[ x = \dfrac{8}{3} \]

   검산: 좌변: \( -2\left(2\left(\frac{8}{3}\right) - 6\right) = -2\left(\frac{16}{3} - \frac{18}{3}\right) = -2\left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3} \).
   우변: \( -\left(\frac{8}{3} - 4\right) = -\left(\frac{8}{3} - \frac{12}{3}\right) = -\left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3} \). 양변이 서로 같습니다.

6. \( -(x + 2) + 4 = 2(x + 3) + x \)

   단계별 해답 보기

   전개하고 동류항을 정리합니다:

   \[ \begin{aligned} -x - 2 + 4 &= 2x + 6 + x \\ -x + 2 &= 3x + 6 \end{aligned} \]

   양변에 \( x \)를 더하고 6을 뺍니다:

   \[ \begin{aligned} 2 - 6 &= 3x + x \\ -4 &= 4x \\ -1 &= x \end{aligned} \]

   검산: 좌변: \( -(-1 + 2) + 4 = -1 + 4 = 3 \). 우변: \( 2(-1 + 3) + (-1) = 2(2) - 1 = 3 \). 양변이 서로 같습니다.

7. \( \dfrac{x}{5} = -6 \)

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   \( x \)를 격리하기 위해 양변에 5를 곱합니다:

   \[ \begin{aligned} 5 \left(\dfrac{x}{5}\right) &= 5(-6) \\ x &= -30 \end{aligned} \]

   검산: 좌변: \( \dfrac{-30}{5} = -6 \). 양변이 서로 같습니다.

8. \( -\dfrac{x}{3} = \dfrac{1}{2} \)

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   분수와 마이너스 부호를 없애기 위해 양변에 -3을 곱합니다:

   \[ \begin{aligned} (-3) \left(-\dfrac{x}{3}\right) &= (-3) \left(\dfrac{1}{2}\right) \\ x &= -\dfrac{3}{2} \end{aligned} \]

   검산: 좌변: \( -\dfrac{(-3/2)}{3} = \dfrac{3/2}{3} = \dfrac{1}{2} \). 양변이 서로 같습니다.

9. \( -\dfrac{x}{4} = \dfrac{1}{2} - x \)

   단계별 해답 보기

   분수를 없애기 위해 방정식 전체에 4를 곱합니다:

   \[ \begin{aligned} 4 \left(-\dfrac{x}{4}\right) &= 4 \left(\dfrac{1}{2} - x\right) \\ -x &= 2 - 4x \end{aligned} \]

   양변에 \( 4x \)를 더합니다:

   \[ \begin{aligned} 3x &= 2 \\ x &= \dfrac{2}{3} \end{aligned} \]

   검산: 좌변: \( -\dfrac{2/3}{4} = -\dfrac{2}{12} = -\dfrac{1}{6} \).
   우변: \( \dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{6} - \dfrac{4}{6} = -\dfrac{1}{6} \). 양변이 서로 같습니다.

10. \( -\dfrac{x - 3}{7} = \dfrac{1}{2}(-2x + 6) \)

    단계별 해답 보기

    분수를 없애기 위해 7과 2의 최소공배수인 14를 양변에 곱합니다:

    \[ \begin{aligned} 14 \left( -\dfrac{x - 3}{7} \right) &= 14 \left( \dfrac{1}{2}(-2x + 6) \right) \\ -2(x - 3) &= 7(-2x + 6) \end{aligned} \]

    분배 법칙을 사용하여 전개합니다:

    \[ -2x + 6 = -14x + 42 \]

    양변에 \( 14x \)를 더하고 6을 뺍니다:

    \[ \begin{aligned} 12x &= 36 \\ x &= 3 \end{aligned} \]

    검산: 좌변: \( -\dfrac{3 - 3}{7} = 0 \). 우변: \( \dfrac{1}{2}(-2(3) + 6) = 0 \). 양변이 서로 같습니다.

11. \( -\dfrac{1}{2} - x + 5 = \dfrac{1}{5} + 2(x - 2) \)

    단계별 해답 보기

    먼저 2와 5의 최소공배수(10)를 모든 항에 곱하여 분수를 없애줍니다:

    \[ 10 \left(-\dfrac{1}{2} - x + 5\right) = 10 \left(\dfrac{1}{5} + 2(x - 2)\right) \]

    10을 주의 깊게 분배합니다:

    \[ -5 - 10x + 50 = 2 + 20(x - 2) \]

    좌변의 상수항을 정리하고 우변의 괄호를 전개합니다:

    \[ \begin{aligned} -10x + 45 &= 2 + 20x - 40 \\ -10x + 45 &= 20x - 38 \end{aligned} \]

    양변에 \( 10x \)를 더하고 38을 더합니다:

    \[ \begin{aligned} 45 + 38 &= 20x + 10x \\ 83 &= 30x \\ x &= \dfrac{83}{30} \end{aligned} \]

    검산: 좌변: \( -\dfrac{1}{2} - \dfrac{83}{30} + 5 = -\dfrac{15}{30} - \dfrac{83}{30} + \dfrac{150}{30} = \dfrac{52}{30} = \dfrac{26}{15} \).
    우변: \( \dfrac{1}{5} + 2\left(\dfrac{83}{30} - \dfrac{60}{30}\right) = \dfrac{3}{15} + 2\left(\dfrac{23}{30}\right) = \dfrac{3}{15} + \dfrac{46}{30} = \dfrac{3}{15} + \dfrac{23}{15} = \dfrac{26}{15} \). 양변이 서로 같습니다.

참고 자료 및 링크

• 방정식, 연립방정식 및 부등식 풀이
• 최소공배수 구하기
• 중학교 수학 (6, 7, 8, 9학년) - 정답이 포함된 무료 문제 및 풀이
• 고등학교 수학 (10, 11, 12학년) - 정답이 포함된 무료 문제 및 풀이
• 초등학교 수학 (4, 5학년) - 정답이 포함된 무료 문제 및 풀이