A regra de adição de probabilidades é usada para resolver questões e problemas de probabilidade. Vários exemplos são apresentados juntamente com suas soluções detalhadas.
O conhecimento mínimo necessário para entender os exemplos é o conceito de espaço amostral de um experimento e o evento de interesse. Também revisar perguntas de probabilidade básicas pode ser útil.
A seguir, n(S) é o número de elementos no espaço amostral S e n(E) é o número de elementos no evento E.

Explicações das regras de adição

A melhor maneira de explicar a regra de adição é resolver o exemplo a seguir usando dois métodos diferentes.

Exemplo 1
Um dado justo é lançado uma vez, encontre a probabilidade de obter um número ímpar ou um número menor ou igual a \( 3 \).

Solução para o Exemplo 1
Dois métodos são sugeridos.

Método 1: Use o espaço amostral
O espaço amostral S, que é o conjunto de todos os resultados possíveis, do experimento de lançar um dado é dado por
\( \quad \quad \quad S = \{1,2,3,4,5,6\} \)
O número de elementos \( n(S) \) no conjunto \( S \) é dado por \( n(S) = 6 \)
Seja E o evento “obter um número ímpar ou um número menor ou igual a \(3 \)". Verifique cada elemento do espaço amostral\( S \) para ver se é ímpar ou menor ou igual a \( 3 \) para terminar com todos os resultados pertencentes ao conjunto E dado por
\( \quad \quad \quad E = \{1,2,3,5\} \)
O número de elementos \( n(E) \) no conjunto \( E \) é dado por
\( \quad \quad \quad n(E) = 4 \)
Seja \( P(E) \) a probabilidade de ocorrência do evento E, definido acima. Agora usamos a fórmula da probabilidade probabilidade clássica encontrar \( P(E) \) como:
\( \quad \quad \quad P(E) = \dfrac{n(E)}{n(S)} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} \)


Método 2: usar fórmula de adição
E é o evento "obter um número ímpar ou um número menor ou igual a \( 3 \)" é na verdade a união de dois eventos: o evento \( A \) correspondente a "obter um número ímpar" e o evento \( B \) correspondente a "obter um número menor ou igual a \( 3 \)".
\( \quad \quad \quad A = \{1,3,5\} \)
\( \quad \quad \quad B = \{1,2,3\} \)
de tal modo que
\( \quad \quad \quad E = A \cup B = \{1,3,5\} \cup \{1,2,3\} = \{1,2,3,5\} \)
Os diagramas de Venn abaixo mostram o conjunto \( A \) e o conjunto \( B \) e sua união \( A \cup B \). Observe também que a interseção de \( A \) e \( B \) tem dois elementos: \( A \cap B = \{1,3\} \)



Sejam \( n(E), n(A) \), \( n(B) \) e \( n(A \cap B) \) os números de elementos nos conjuntos \( E \), \(A \), \( B \) e \( (A \cap B) \) respectivamente.
Sabemos de cima que \( \quad \quad \quad n(E) = 4 \) , \( n(A) = 3 \) , \( n(B) = 3 \) e \( n(A \cap B) = 2 \)
Podemos escrever: \( n(E) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 3 + 3 - 2 = 4 \)
A razão pela qual subtraímos \( n(A \cap B) \) na expressão de \(n(E) \) acima é porque \( n(A \cap B) \) é contado duas vezes: uma vez em \( n(A) \) e uma vez em \( n(B) \)
A probabilidade \( P(E) \) do evento \( E = A \cup B \) é dada por
\( \quad \quad \quad P(E) = \dfrac{n(E)}{n(S)} = \dfrac{n(A)+ n(B) - n(A \cap B) }{ n(S)} = \dfrac{n(A)}{ n(S)} + \dfrac{n(B)}{n(S)} - \dfrac{n(A \cap B)}{n( S)} = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
Portanto, a regra geral de adição em probabilidades é dada por
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] ou \[ P(A \; \text{ou} \; B) = P(A) + P(B) - P(A \; \text{e} \; B) \]
onde \( p(A) \) é a probabilidade de \( A \) acontecer, \( P(B) \) é a probabilidade de \( B \) acontecer, e \( P(A \cap B) \) é a probabilidade de \( A \) e \( B \) acontecerem ao mesmo tempo.
\( \quad \quad \quad p(A) = \dfrac{n(A)}{n(S)} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\)
\( \quad \quad \quad P(B) = \dfrac{n(B)}{n(S)} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\)
\( \quad \quad \quad P(A \cap B) = \dfrac{n(A \cap B)}{n(S)} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3 } \)
Use a regra de adição acima
\( \quad \quad \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 1/2 + 1/2 - 1/3 = 2/3\)
NOTA: Se os eventos \( A \) e \( B \) forem mutuamente exclusivos, significando que não podem acontecer ao mesmo tempo, a interseção \( A \cap B = \phi \), conjunto vazio, e portanto \( P(A \cap B) = 0 \ ) que simplifica a regra de adição para
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B)\] ou \[ P(A \; \text{ou} \; B) = P(A) + P(B) \]

Exemplos sobre o uso da regra de adição

Exemplo 2
Um dado honesto é lançado uma vez, encontre a probabilidade de obter um "\( 1 \)" ou um "\( 5 \)".

Solução para o Exemplo 2
Seja o evento \( A \): obtendo um "\( 1 \)" e o evento \( B \): obtendo um "\( 5 \)". Somos então solicitados a encontrar \( P(A \cup B) \) que é dado por
\( \quad \quad \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
Esses dois eventos são mutuamente exclusivos porque você não pode obter "\( 1 \)" e um "\( 5 \)" ao mesmo tempo. Por isso
\( \quad \quad \quad P(A \cap B) = 0 \)
e
\( \quad \quad \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) \)
A probabilidade de obter um \( 1 \) (evento A) ao lançar um dado é
\( \quad \quad \quad P(A) = \dfrac {1}{6} \)
A probabilidade de obter um \( 5 \) (evento B) ao lançar um dado é
\( \quad \quad \quad P(B) = \dfrac {1}{6} \)
\( \quad \quad \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{ 3}\)

Exemplo 3
Uma caixa contém 3 bolas vermelhas, 2 bolas verdes e 5 bolas azuis. Uma bola é retirada aleatoriamente da caixa. Encontre a probabilidade de a bola ser verde ou azul.

Solução para o Exemplo 3
Seja o evento \( A \): a bola é verde e o evento \( B \): a bola é azul. Somos então solicitados a encontrar \( P(A \cup B) \) que é dado por ".
\( \quad \quad \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
A probabilidade de obter um verde (evento A) é calculada da seguinte forma
Há um total de 10 bolas e 2 são verdes; por isso
\( \quad \quad \quad P(A) = \dfrac {2}{10} = 1/5 \)
A probabilidade de obter um azul (evento B) é calculada da seguinte forma
Há um total de 10 bolas e 5 são azuis; por isso
\( \quad \quad \quad P(B) = \dfrac {5}{10} = 1/2 \)
Estes dois eventos são mutuamente exclusivos: não podemos obter uma bola verde e uma bola azul ao mesmo tempo. Por isso
\( \quad \quad \quad P(A \cap B) = 0 \)
e
\( \quad \quad \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 1/5 + 1/2 = 7/10 \)

Exemplo 5
Uma única carta é retirada de um baralho. Encontre a probabilidade de selecionar o seguinte.
a) um "2" ou um "5"
b) Um "8" ou um "coração"
c) Uma "Rainha" ou um "cartão vermelho"

Solução para o Exemplo 5

a)
Seja evento \( A \): selecionando um "2" e evento \( B \): selecionando um "5".
Em um baralho de 52 cartas, existem 4 "2" e 4 "5" .
Os eventos \( A \) e \( B \) são mutuamente exclusivos, você não pode obter um "2" e um "5" ao mesmo tempo se comprar uma carta. Por isso
\( \quad \quad \quad P(A \cap B) = 0 \)
\( \quad \quad \quad P(A) = 4/52 = 1/3 \)
\( \quad \quad \quad P(B) = 4/52 = 1/3 \)
\( \quad \quad \quad P( A \cup B) = P(A) + P(B) = 1/13 + 1/13 = 2/13 \)
b)
Seja evento \( C \): selecionando um "8" e evento \( D \): selecionando um "coração".
Em um baralho de 52 cartas, há 4 "8"; por isso
\( \quad \quad \quad P(C) = 4/52 = 1/13 \)
e 13 "corações"; por isso
\( \quad \quad \quad P(D) = 13/52 = 1/4 \)
Os eventos \( C \) e \( D \) NÃO são mutuamente exclusivos; você pode obter um "8" e um "coração" ao mesmo tempo se desenhar um "8" de "corações". Por isso
\(\quad \quad \quad P(C \cap D) = 1/52 \)
\( \quad \quad \quad P( C \cup D) = P(C) + P(D) - P( C \cup D) = 1/13 + 1/4 - 1/52 = 4/13 \ )
c)
Seja evento \( E \): seleção de uma "Rainha" e evento \( F \): seleção de um "cartão vermelho".
Em um baralho de 52 cartas, há 4 “Rainhas"; por isso
\( \quad \quad \quad P(E) = 4/52 = 1/13 \)
e 26 “cartões vermelhos"; por isso
\( \quad \quad \quad P(F) = 26/52 = 1/2 \)
Os eventos \( C \) e \( D \) NÃO são mutuamente exclusivos; você pode obter uma "Rainha" de "Copas", que é um "cartão vermelho", e também pode obter uma "Rainha" de "Diamantes", que é um "cartão vermelho". Por isso
\( \quad \quad \quad P(E \cap F) = 2/52 = 1/26 \)
\( \quad \quad \quad P( E \cup F) = P(E) + P(F) - P( E \cup F) = 1/13 + 1/2 - 2/52 = 7/13 \ )

Exemplo 6
Uma concessionária de automóveis classifica os carros listados na tabela abaixo por tipo e cor. Se um carro for escolhido aleatoriamente, qual a probabilidade de ele ser
a) um carro preto ou branco?
b) carro azul ou cupê?
c) um carro preto ou um SUV?

Exemplo 7
A tabela abaixo mostra o número de horas que os alunos dedicam aos trabalhos de casa todas as semanas.

Exemplo 8
Os clientes de uma seguradora possuem pelo menos um de dois seguros: residencial, automóvel ou ambos. 80% dos clientes possuem seguro residencial e 60% possuem seguro automóvel. Se selecionarmos uma pessoa aleatoriamente, qual é a probabilidade de essa pessoa ter os dois seguros da empresa?


Solução para o Exemplo 8
Seja evento \( A \): ter seguro residencial e evento \( B \): ter seguro automóvel.
\( \quad \quad \quad P( A \cup B ) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
Precisamos encontrar \( P(A \cap B) \)
100% dos clientes possuem um ou ambos os seguros; por isso
\( \quad \quad \quad P( A \cup B ) = 100\% \)
80% dos clientes têm seguro residencial, portanto
\( \quad \quad \quad P(A) = 80\% \)
60% dos clientes têm seguro automóvel, portanto
\( \quad \quad \quad P(B) = 60\% \)
\( \quad \quad \quad 100\% = 80\% + 60\% - P(A \cap B) \)
\( \quad \quad \quad P(A \cap B) = 140\% - 100\% = 40\% = 0,4 \)

Mais referências e links