Regra de adição para probabilidades

\( \)\( \)\( \)\( \)

A regra de adição de probabilidades é usada para resolver questões e problemas de probabilidade. Vários exemplos são apresentados juntamente com suas soluções detalhadas.
O conhecimento mínimo necessário para entender os exemplos é o conceito de espaço amostral de um experimento e o evento de interesse. Também revisar perguntas de probabilidade básicas pode ser útil.
A seguir, n(S) é o número de elementos no espaço amostral S e n(E) é o número de elementos no evento E.

Explicações das regras de adição

A melhor maneira de explicar a regra de adição é resolver o exemplo a seguir usando dois métodos diferentes.

Exemplo 1
Um dado justo é lançado uma vez, encontre a probabilidade de obter um número ímpar ou um número menor ou igual a \( 3 \).

Solução para o Exemplo 1
Dois métodos são sugeridos.

Método 1: Use o espaço amostral
O espaço amostral S, que é o conjunto de todos os resultados possíveis, do experimento de lançar um dado é dado por
\( \quad \quad \quad S = \{1,2,3,4,5,6\} \)
O número de elementos \( n(S) \) no conjunto \( S \) é dado por \( n(S) = 6 \)
Seja E o evento “obter um número ímpar ou um número menor ou igual a \(3 \)". Verifique cada elemento do espaço amostral\( S \) para ver se é ímpar ou menor ou igual a \( 3 \) para terminar com todos os resultados pertencentes ao conjunto E dado por
\( \quad \quad \quad E = \{1,2,3,5\} \)
O número de elementos \( n(E) \) no conjunto \( E \) é dado por
\( \quad \quad \quad n(E) = 4 \)
Seja \( P(E) \) a probabilidade de ocorrência do evento E, definido acima. Agora usamos a fórmula da probabilidade probabilidade clássica encontrar \( P(E) \) como:
\( \quad \quad \quad P(E) = \dfrac{n(E)}{n(S)} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} \)


Método 2: usar fórmula de adição
E é o evento "obter um número ímpar ou um número menor ou igual a \( 3 \)" é na verdade a união de dois eventos: o evento \( A \) correspondente a "obter um número ímpar" e o evento \( B \) correspondente a "obter um número menor ou igual a \( 3 \)".
\( \quad \quad \quad A = \{1,3,5\} \)
\( \quad \quad \quad B = \{1,2,3\} \)
de tal modo que
\( \quad \quad \quad E = A \cup B = \{1,3,5\} \cup \{1,2,3\} = \{1,2,3,5\} \)
Os diagramas de Venn abaixo mostram o conjunto \( A \) e o conjunto \( B \) e sua união \( A \cup B \). Observe também que a interseção de \( A \) e \( B \) tem dois elementos: \( A \cap B = \{1,3\} \)

Venn diagrama para a regra de adição de probabilidades

Sejam \( n(E), n(A) \), \( n(B) \) e \( n(A \cap B) \) os números de elementos nos conjuntos \( E \), \(A \), \( B \) e \( (A \cap B) \) respectivamente.
Sabemos de cima que \( \quad \quad \quad n(E) = 4 \) , \( n(A) = 3 \) , \( n(B) = 3 \) e \( n(A \cap B) = 2 \)
Podemos escrever: \( n(E) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 3 + 3 - 2 = 4 \)
A razão pela qual subtraímos \( n(A \cap B) \) na expressão de \(n(E) \) acima é porque \( n(A \cap B) \) é contado duas vezes: uma vez em \( n(A) \) e uma vez em \( n(B) \)
A probabilidade \( P(E) \) do evento \( E = A \cup B \) é dada por
\( \quad \quad \quad P(E) = \dfrac{n(E)}{n(S)} = \dfrac{n(A)+ n(B) - n(A \cap B) }{ n(S)} = \dfrac{n(A)}{ n(S)} + \dfrac{n(B)}{n(S)} - \dfrac{n(A \cap B)}{n( S)} = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
Portanto, a regra geral de adição em probabilidades é dada por
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] ou \[ P(A \; \text{ou} \; B) = P(A) + P(B) - P(A \; \text{e} \; B) \]
onde \( p(A) \) é a probabilidade de \( A \) acontecer, \( P(B) \) é a probabilidade de \( B \) acontecer, e \( P(A \cap B) \) é a probabilidade de \( A \) e \( B \) acontecerem ao mesmo tempo.
\( \quad \quad \quad p(A) = \dfrac{n(A)}{n(S)} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\)
\( \quad \quad \quad P(B) = \dfrac{n(B)}{n(S)} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\)
\( \quad \quad \quad P(A \cap B) = \dfrac{n(A \cap B)}{n(S)} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3 } \)
Use a regra de adição acima
\( \quad \quad \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 1/2 + 1/2 - 1/3 = 2/3\)
NOTA: Se os eventos \( A \) e \( B \) forem mutuamente exclusivos, significando que não podem acontecer ao mesmo tempo, a interseção \( A \cap B = \phi \), conjunto vazio, e portanto \( P(A \cap B) = 0 \ ) que simplifica a regra de adição para
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B)\] ou \[ P(A \; \text{ou} \; B) = P(A) + P(B) \]



Exemplos sobre o uso da regra de adição

Apresentamos agora mais exemplos e questões sobre como a regra de adição é usada para resolver questões de probabilidade.
NOTA: Várias das questões abaixo podem ser resolvidas por outros métodos que podem ser mais rápidos, mas aqui usamos a regra de adição ao resolver estes exemplos para aprender como usar esta regra .

Exemplo 2
Um dado honesto é lançado uma vez, encontre a probabilidade de obter um "\( 1 \)" ou um "\( 5 \)".

Solução para o Exemplo 2
Seja o evento \( A \): obtendo um "\( 1 \)" e o evento \( B \): obtendo um "\( 5 \)". Somos então solicitados a encontrar \( P(A \cup B) \) que é dado por
\( \quad \quad \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
Esses dois eventos são mutuamente exclusivos porque você não pode obter "\( 1 \)" e um "\( 5 \)" ao mesmo tempo. Por isso
\( \quad \quad \quad P(A \cap B) = 0 \)
e
\( \quad \quad \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) \)
A probabilidade de obter um \( 1 \) (evento A) ao lançar um dado é
\( \quad \quad \quad P(A) = \dfrac {1}{6} \)
A probabilidade de obter um \( 5 \) (evento B) ao lançar um dado é
\( \quad \quad \quad P(B) = \dfrac {1}{6} \)
\( \quad \quad \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{ 3}\)



Exemplo 3
Uma caixa contém 3 bolas vermelhas, 2 bolas verdes e 5 bolas azuis. Uma bola é retirada aleatoriamente da caixa. Encontre a probabilidade de a bola ser verde ou azul.

Solução para o Exemplo 3
Seja o evento \( A \): a bola é verde e o evento \( B \): a bola é azul. Somos então solicitados a encontrar \( P(A \cup B) \) que é dado por ".
\( \quad \quad \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
A probabilidade de obter um verde (evento A) é calculada da seguinte forma
Há um total de 10 bolas e 2 são verdes; por isso
\( \quad \quad \quad P(A) = \dfrac {2}{10} = 1/5 \)
A probabilidade de obter um azul (evento B) é calculada da seguinte forma
Há um total de 10 bolas e 5 são azuis; por isso
\( \quad \quad \quad P(B) = \dfrac {5}{10} = 1/2 \)
Estes dois eventos são mutuamente exclusivos: não podemos obter uma bola verde e uma bola azul ao mesmo tempo. Por isso
\( \quad \quad \quad P(A \cap B) = 0 \)
e
\( \quad \quad \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 1/5 + 1/2 = 7/10 \)



Exemplo 5
Uma única carta é retirada de um baralho. Encontre a probabilidade de selecionar o seguinte.
a) um "2" ou um "5"
b) Um "8" ou um "coração"
c) Uma "Rainha" ou um "cartão vermelho"

Solução para o Exemplo 5
baralho de 52 cartas
a)
Seja evento \( A \): selecionando um "2" e evento \( B \): selecionando um "5".
Em um baralho de 52 cartas, existem 4 "2" e 4 "5" .
Os eventos \( A \) e \( B \) são mutuamente exclusivos, você não pode obter um "2" e um "5" ao mesmo tempo se comprar uma carta. Por isso
\( \quad \quad \quad P(A \cap B) = 0 \)
\( \quad \quad \quad P(A) = 4/52 = 1/3 \)
\( \quad \quad \quad P(B) = 4/52 = 1/3 \)
\( \quad \quad \quad P( A \cup B) = P(A) + P(B) = 1/13 + 1/13 = 2/13 \)
b)
Seja evento \( C \): selecionando um "8" e evento \( D \): selecionando um "coração".
Em um baralho de 52 cartas, há 4 "8"; por isso
\( \quad \quad \quad P(C) = 4/52 = 1/13 \)
e 13 "corações"; por isso
\( \quad \quad \quad P(D) = 13/52 = 1/4 \)
Os eventos \( C \) e \( D \) NÃO são mutuamente exclusivos; você pode obter um "8" e um "coração" ao mesmo tempo se desenhar um "8" de "corações". Por isso
\(\quad \quad \quad P(C \cap D) = 1/52 \)
\( \quad \quad \quad P( C \cup D) = P(C) + P(D) - P( C \cup D) = 1/13 + 1/4 - 1/52 = 4/13 \ )
c)
Seja evento \( E \): seleção de uma "Rainha" e evento \( F \): seleção de um "cartão vermelho".
Em um baralho de 52 cartas, há 4 “Rainhas"; por isso
\( \quad \quad \quad P(E) = 4/52 = 1/13 \)
e 26 “cartões vermelhos"; por isso
\( \quad \quad \quad P(F) = 26/52 = 1/2 \)
Os eventos \( C \) e \( D \) NÃO são mutuamente exclusivos; você pode obter uma "Rainha" de "Copas", que é um "cartão vermelho", e também pode obter uma "Rainha" de "Diamantes", que é um "cartão vermelho". Por isso
\( \quad \quad \quad P(E \cap F) = 2/52 = 1/26 \)
\( \quad \quad \quad P( E \cup F) = P(E) + P(F) - P( E \cup F) = 1/13 + 1/2 - 2/52 = 7/13 \ )


Exemplo 6
Uma concessionária de automóveis classifica os carros listados na tabela abaixo por tipo e cor. Se um carro for escolhido aleatoriamente, qual a probabilidade de ele ser
a) um carro preto ou branco?
b) carro azul ou cupê?
c) um carro preto ou um SUV?

SUV Carro Esportivo Van Coupé Total
Preto 35 10 25 15 85
Branco 10 15 20 5 50
Azul 15 15 5 30 65
Total 60 40 50 50 200


Solução para o Exemplo 6
a)
Seja o evento \( A \): um carro preto é selecionado e o evento \( B \): um carro branco é selecionado.
\( \quad \quad \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
Um carro pode ter apenas uma cor e portanto os eventos \( A \) e \( B \) são mutuamente exclusivos; por isso
\( \quad \quad \quad P(A \cap B) = 0 \)
São 60 SUVs, 40 carros esportivos, 50 vans e 50 cupês, o que dá um total de 200 carros.
Há um total de 85 carros pretos e um total de 50 carros brancos; por isso
\( \quad \quad \quad P(A) = 85/200 = 17/40 \)
\( \quad \quad \quad P(A) = 50/200 = 1/4 \)
\( \quad \quad \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 17/40 + 1/4 - 0 = 27/40\)
b)
Seja o evento \( C \): um carro azul é selecionado e o evento \( D \): um cupê é selecionado. Precisamos encontrar a probabilidade
\( \quad \quad \quad P(C \cup D) = P(C) + P(D) - P(C \cap D) \)
Alguns carros azuis são cupês e, portanto, os eventos \( C \) e \( D \) NÃO são mutuamente exclusivos.
Existem 30 cupês que são azuis, portanto
\( \quad \quad \quad P(C \cap D) = 30/200 = 3/20\)
Há um total de 65 carros azuis; por isso
\( \quad \quad \quad P(C) = 65/200 = 13/40 \)
Há um total de 50 carros cupê; por isso
\( \quad \quad \quad P(D) = 50/200 = 1/4 \)
\( \quad \quad \quad P(C \cup D) = P(C) + P(D) - P(C \cap D) = 13/40 + 1/4 - 3/20 = 17/40\)
C)
Seja o evento \( E \): um carro preto é selecionado e o evento \( F \): um SUV é selecionado. Precisamos encontrar a probabilidade
\( \quad \quad \quad P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F) \)
Alguns carros pretos são SUVs e, portanto, os eventos \( E \) e \( F \) NÃO são mutuamente exclusivos.
Existem 35 carros SUV que são pretos, portanto
\( \quad \quad \quad P(E \cap F) = 35/200 = 7/40\)
Há um total de 85 carros pretos; por isso
\( \quad \quad \quad P(E) = 85/200 = 17/40 \)
Há um total de 60 carros SUV; por isso
\( \quad \quad \quad P(F) = 60/200 = 3/10 \)
\( \quad \quad \quad P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F) = 17/40 + 3/10 - 7/40 = 11/20\)



Exemplo 7
A tabela abaixo mostra o número de horas que os alunos dedicam aos trabalhos de casa todas as semanas.

Tempo (horas) Número de alunos
0 - 2 5
3 - 4 20
5 - 7 35
8 - 10 50
11 - 12 60
13 and more 30
Se um aluno for selecionado aleatoriamente, qual é a probabilidade de que esse aluno gaste no máximo 4 horas ou pelo menos 11 horas em seu dever de casa?

Solução para o Exemplo 7
Seja evento \( A \): aluno gasta no máximo 4 horas e evento \( B \): aluno gasta no mínimo 11 horas.
Precisamos encontrar a probabilidade
\( \quad \quad \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
Há um total de 200 alunos.
As duas primeiras linhas correspondem aos alunos que passam 4 horas ou menos (no máximo 4 horas) e o seu total é: 25; por isso
\( \quad \quad \quad P (A) = 25/200 = 5/20 \)
As duas últimas linhas correspondem aos alunos que passam 11 horas ou mais (pelo menos 11 horas) e o seu total é: 90; por isso
\( \quad \quad \quad P(B) = 90/200 = 9/20 \)
Os dois eventos são mutuamente exclusivos, conforme mostrado na tabela. Por isso
\( \quad \quad \quad P(A \cap B ) = 0 \)
e
\( \quad \quad \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 5/20 + 9/20 = 7/10 \)



Exemplo 8
Os clientes de uma seguradora possuem pelo menos um de dois seguros: residencial, automóvel ou ambos. 80% dos clientes possuem seguro residencial e 60% possuem seguro automóvel. Se selecionarmos uma pessoa aleatoriamente, qual é a probabilidade de essa pessoa ter os dois seguros da empresa?


Solução para o Exemplo 8
Seja evento \( A \): ter seguro residencial e evento \( B \): ter seguro automóvel.
\( \quad \quad \quad P( A \cup B ) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
Precisamos encontrar \( P(A \cap B) \)
100% dos clientes possuem um ou ambos os seguros; por isso
\( \quad \quad \quad P( A \cup B ) = 100\% \)
80% dos clientes têm seguro residencial, portanto
\( \quad \quad \quad P(A) = 80\% \)
60% dos clientes têm seguro automóvel, portanto
\( \quad \quad \quad P(B) = 60\% \)
\( \quad \quad \quad 100\% = 80\% + 60\% - P(A \cap B) \)
\( \quad \quad \quad P(A \cap B) = 140\% - 100\% = 40\% = 0,4 \)


Mais referências e links

Regra de multiplicação para probabilidades de eventos independentes perguntas de probabilidade
Exemplos e perguntas sobre probabilidades binomiais
fórmula clássica para probabilidade
Eventos
mutuamente exclusivos
Introdução às probabilidades
espaço de amostra
evento
estatísticas e probabilidades elementares .
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