Exemplos e perguntas sobre probabilidades binomiais

Em um experimento binomial, você tem um número \( n \) de tentativas independentes e cada tentativa tem dois resultados possíveis ou vários resultados que podem ser reduzidos a dois resultados.
As propriedades de um experimento binomial são:
1) O número de tentativas \( n \) é constante.
2) Cada tentativa tem apenas 2 resultados (ou que podem ser reduzidos a 2 resultados): "sucesso" ou "fracasso", "verdadeiro" ou "falso", "cabeça" ou "cauda", ...
3) A probabilidade \( p \) de sucesso em cada tentativa deve ser constante.
4) Os resultados dos ensaios devem ser independentes uns dos outros.

Exemplos de experimentos binomiais
1) Jogue uma moeda \( n = 10 \) vezes e obtenha \( k = 6 \) cara (sucesso) e \( n - k \) coroa (falha).
2) Jogue um dado \( n = 5\) vezes e obtenha \( 3 \) "6" (sucesso) e \( n - k \) "não 6" (falha).
3) De \( n = 10 \) ferramentas, onde cada ferramenta tem uma probabilidade \( p \) de estar "em boas condições de funcionamento" (sucesso), selecione 6 aleatoriamente e obtenha 4 "em boas condições de funcionamento" e 2 “não está em condições de funcionamento” (falha).
4) Um medicamento recentemente desenvolvido tem probabilidade \( p \) de ser eficaz.
Selecione \( n \) pessoas que tomaram o medicamento e obtiveram \( k \) "tratamento bem sucedido" (sucesso) e \( n - k \) "tratamento sem sucesso" (falha).

Explicações da fórmula binomial

A melhor maneira de explicar a fórmula da distribuição binomial é resolver o exemplo a seguir.

Exemplo 1
Uma moeda honesta é lançada 3 vezes. Encontre a probabilidade de obter 2 caras e 1 coroa.

Solução para o Exemplo 1
Quando lançamos uma moeda, podemos obter cara \( H \) ou coroa \( T \).
Usamos o diagrama de árvore incluindo os três lançamentos para determinar o espaço amostral \( S \) do experimento que é dado por:


\( S = \{ (H H H) , \color{red}{(H H T)} , \color{red}{(H T H)} , (H T T) , \color{red}{(T H H)} , (T H T) , (T T H) , (T T T) \} \)
O evento \( E \) de obter 2 caras em 3 lançamentos é dado pelo conjunto
\( E = \{ \color{red}{(H H T)} , \color{red}{(H T H)} , \color{red}{(T H H)} \} \)
Em uma tentativa (ou lançamento), a probabilidade de obter cara é
\( P(H) = p = 1/2 \)
e a probabilidade de obter coroa é
\( P(T) = 1 - p = 1/2 \)
Os resultados de cada lançamento são independentes, portanto a probabilidade \( P (H H T) \) é dada pelo produto:
\( P (H H T) = P(H) \cdot P(H) \cdot P(T) \\ = p \cdot p \cdot (1-p) \\ =p^2(1-p)\)
De maneira semelhante obtemos
\( P (H T H) = p \cdot (1-p) \cdot p = p^2 (1-p) \)
\( P (T H H) = (1-p) \cdot p \cdot p = p^2 (1-p) \)
\( P( E ) = P ( \; (H H T) \; ou \; (H T H) \; ou \; (T H H) \;) \)
Use a regra da soma sabendo que \( (H H T) , (H T H) \) e \( (T H H) \) são mutuamente exclusivos
\( P( E ) = P( (H H T) + P (H T H) + P (T H H) ) \)
Substituto
\(P(E) = p^2 (1-p) + p^2 (1-p) + p^2 (1-p) = 3 p^2 (1-p) \)
Todos os elementos do conjunto \( E \) são igualmente prováveis com probabilidade \( p^2 (1-p) \) e o fator \( 3 \) vem do número de maneiras 2 caras \( (H) \) estão dentro de 3 tentativas e isso é dado pela fórmula para combinações escrita da seguinte forma:
\( \displaystyle {3\choose 2} =3 \)
\( P(E) \) pode ser escrito como
\( \displaystyle {P(E) = {3\choose 2} p^2 (1-p)^1 = {3\choose 2} p^2 (1-p)^1 = {3\choose 2} p^2 (1-p)^{3-2}} \)
Portanto, a fórmula geral para probabilidades binomiais é dada por
\[ P(k \; \text{sucessos em n tentativas}) = {n\choose k} p^k (1-p)^{n-k} \] onde \( n \) é o número de tentativas, \( k \) o número de sucessos e, \( p \) a probabilidade de sucesso.
\( \displaystyle {n\choose k} \) são as combinações de \( n \) itens obtidos \( k \) no momento e são dados por fatoriais como segue:
\[ {n\choose k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} \]
\( n! = 1 \times 2 \times 3 \times ..... \times (n - 1) \times n \) , é lido como \(n \) fatorial.

Média e desvio padrão de uma distribuição binomial

Exemplos de uso da fórmula binomial

Exemplo 2
Uma moeda honesta é lançada 5 vezes.
Qual é a probabilidade de obter exatamente 3 caras?

Solução para o Exemplo 2
A moeda é lançada 5 vezes, portanto o número de tentativas é \( n = 5\).
Sendo a moeda justa, o resultado de cara em um lançamento tem uma probabilidade \( p = 0,5 \) e o resultado de coroa em um lançamento tem uma probabilidade \( 1 - p = 0,5 \)
A probabilidade de obter 3 caras em 5 tentativas é dada pela fórmula de probabilidades binomiais acima com \( n = 5 \), \( k = 3 \) e \( p = 0,5\)

\( \displaystyle P(3 \; \text{cara em 5 tentativas}) = {5\choose 3} (0,5)^3 (1-0,5)^{5-3} \\ = \displaystyle {5\choose 3} (0,5) ^ 3 (0,5) ^ {2} \)

Use fórmula para combinações para calcular

\( \displaystyle {5\choose 3} = \dfrac{5!}{3!(5-3)!} = \dfrac{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5}{(1 \times 2 \times 3)(1 \times 2)} = 10 \)
Substituto
\( P(3 \; \text{cara em 5 tentativas}) = 10 (0,5)^3 (0,5)^{2} = 0,3125 \)

Exemplo 3
Um dado justo é lançado 7 vezes, encontre a probabilidade de obter "\(6 \) pontos" exatamente 5 vezes.

Solução para o Exemplo 3
Este é um exemplo em que embora os resultados sejam superiores a 2, estamos interessados em apenas 2: “6” ou “não 6”.
O dado é lançado 7 vezes, portanto o número de tentativas é \( n = 7\).
Em uma única tentativa, o resultado "6" tem probabilidade \( p = 1/6 \) e o resultado "não 6" tem probabilidade \( 1 - p = 1 - 1/6 = 5/6 \)
A probabilidade de ter 5 "6" em 7 tentativas é dada pela fórmula de probabilidades binomiais acima com \( n = 7 \), \( k = 5 \) e \( p = 1/6\)

\( \displaystyle P( \text{5 "6" in 7 trials}) = \displaystyle {7\choose 5} (1/6)^5 (1-5/6)^{7-5} \\ = \displaystyle {7\choose 5} (1/6)^5 (5/6)^{2} \)
Use fórmula para combinações para calcular

\( \displaystyle {7\choose 5} = \dfrac{7!}{5!(7-5)!} = 21 \)
Substituto
\( P(\text{5 "6" em 7 tentativas}) = 21 (1/6)^5 (5/6)^{2} = 0,00187 \)

Exemplo 4
Uma fábrica produz ferramentas das quais 98% estão em boas condições de funcionamento. Amostras de 1.000 ferramentas são selecionadas aleatoriamente e testadas.
a) Encontre a média e dê-lhe uma interpretação prática.
b) Encontre o desvio padrão do número de ferramentas em boas condições de funcionamento nessas amostras.

Solução para o Exemplo 4
Quando uma ferramenta é selecionada, ela está em boas condições de funcionamento com uma probabilidade de 0,98 ou não está em boas condições de funcionamento com uma probabilidade de 1 - 0,98 = 0,02.
Ao selecionar aleatoriamente uma amostra de 1.000 ferramentas, 1.000 podem ser considerados como o número de tentativas em um experimento binomial e, portanto, estamos lidando com um problema de probabilidade binomial.
a) média: \( \mu = n p = 1000 \times 0,98 = 980 \)
Em uma amostra de 1.000 ferramentas, esperaríamos que 980 ferramentas estivessem em boas condições de funcionamento.
b) desvio padrão: \( \sigma = \sqrt{ n \times p \times (1-p)} = \sqrt{ 1000 \times 0,98 \times (1-0,98)} = 4,43\)

Exemplo 5
Encontre a probabilidade de pelo menos aparecerem 5 caras quando uma moeda honesta é lançada 7 vezes.

Solução para o Exemplo 5
O número de tentativas é \( n = 7\).
Sendo a moeda justa, o resultado de cara em um lançamento tem uma probabilidade \( p = 0,5 \).
Obtenção de pelo menos 5 caras; é equivalente a mostrar: 5, 6 ou 7 caras e, portanto, a probabilidade de mostrar pelo menos 5 caras é dada por
\( P( \text{pelo menos 5}) = P(\text{5 ou 6 ou 7}) \)
Usando a regra de adição com resultados mutuamente exclusivos, temos
\( P( \text{pelo menos 5 caras}) = P(5) + P(6) + P(7) \)
onde \( P(5) \) , \( P(6) \) e \( P(7) \) são dados pela fórmula para probabilidades binomiais com mesmo número de tentativas \( n \), mesma probabilidade \( p \), mas valores diferentes de \( k \).
\( \displaystyle P( \text{at least 5 heads} ) = {7\choose 5} (0,5)^5 (1-0,5)^{7-5} + {7\choose 6} (0,5)^6 (1-0.5)^{7-6} + {7\choose 7} (0,5)^7 (1-0,5)^{7-7} \\ = 0,16406 + 0,05469 + 0,00781 = 0,22656 \)

Exemplo 6
Um teste de múltipla escolha tem 20 questões. Cada pergunta tem quatro respostas possíveis com uma resposta correta por pergunta. Qual é a probabilidade de um aluno acertar 10 ou mais questões (para passar) adivinhando aleatoriamente?
NOTA: esta questão é muito semelhante à questão 5 acima, mas aqui usamos probabilidades binomiais em uma situação da vida real com a qual a maioria dos alunos está familiarizada.

Solução para o Exemplo 6
Cada pergunta tem 4 respostas possíveis com apenas uma correta. Se uma pergunta for respondida por meio de adivinhação aleatória, a probabilidade de respondê-la corretamente é \( p = 1/4 = 0,25 \).
Quando uma resposta é selecionada aleatoriamente, ela é respondida corretamente com uma probabilidade de 0,25 ou incorretamente com uma probabilidade de \( 1 - p = 0,75 \).
Isso pode ser classificado como um experimento de probabilidade binomial. A probabilidade de um aluno responder 10 questões ou mais (de 20) corretas adivinhando aleatoriamente é dada por
\( P(\text{responda pelo menos 10 questões corretas}) = P(\text{10 ou 11 ou 12 ou 13 ou 14 ou 15 ou 16 ou 17 ou 18 ou 19 ou 20}) \)
Usando a regra da adição, escrevemos
\( P(\text{responda pelo menos 10 questões corretas}) = P(10) + P(11) + .... + P(20) \)

\( = \displaystyle {20\choose 10} \cdot 0,25^10 \cdot 0,75^{20-10} + {20\choose 11} \cdot 0,25^11 \cdot 0,75^{20-11} +... . + {20\choose 20} \cdot 0,25^20 \cdot 0,75^{20-20} \)

\( = 0,00992 + 0,00301 + 0,00075 + 0,00015 + 0,00003 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0,01386 \)
Nota
1) As últimas cinco probabilidades não são exatamente iguais a 0, mas são insignificantes em comparação com os primeiros 5 valores.
2) De acordo com o conceito de probabilidades, passar em um teste adivinhando respostas aleatoriamente não funciona.

Exemplo 7
Uma caixa contém 3 bolas vermelhas, 4 bolas brancas e 3 bolas pretas. 6 vezes, uma bola é selecionada aleatoriamente, a cor anotada e então recolocada na caixa.
Qual é a probabilidade de a cor vermelha aparecer pelo menos duas vezes?

Solução para o Exemplo 7
O evento “a cor vermelha aparece pelo menos duas vezes” é o complemento do evento “a cor vermelha aparece uma vez ou não aparece”; portanto, usando a fórmula de probabilidade do complemento, escrevemos
P("a cor vermelha aparece pelo menos duas vezes") = 1 - P("a cor vermelha mostra no máximo 1") = 1 - P("a cor vermelha aparece uma vez" ou "a cor vermelha não aparece")
Usando a regra de adição
P("a cor vermelha aparece pelo menos duas vezes") = 1 - P("a cor vermelha aparece uma vez") + P("a cor vermelha não aparece")
Embora existam mais de dois resultados (3 cores diferentes), estamos interessados apenas na cor vermelha.
O número total de bolas é 10 e há 3 vermelhas, portanto, cada vez que uma bola é selecionada, a probabilidade de obter uma bola vermelha é \( p = 3/10 = 0,3\) e, portanto, podemos usar a fórmula para probabilidades binomiais encontrar
P("a cor vermelha aparece uma vez") = \( \displaystyle{6\choose 1} \cdot 0,3^1 \cdot (1-0,3)^{6-1} = 0,30253 \)
P("a cor vermelha não aparece") = \( \displaystyle{6\choose 0} \cdot 0,3^0 \cdot (1-0,3)^{6-0} = 0,11765 \)
P("a cor vermelha aparece pelo menos duas vezes") = 1 - 0,11765 - 0,30253 = 0,57982

Exemplo 8
80% da população de uma cidade tem seguro residencial na empresa “MyInsurance”.
a) Se forem selecionadas aleatoriamente 10 pessoas desta cidade, qual a probabilidade de pelo menos 8 delas terem seguro residencial com “MyInsurance”?
b) Se forem selecionadas aleatoriamente 500 pessoas, quantas se espera que tenham um seguro residencial com “MyInsurance”?

Solução para o Exemplo 8
a)
Se assumirmos que selecionamos essas pessoas, aleatoriamente, no momento, a probabilidade de uma pessoa selecionada ter seguro residencial com o “MyInsurance” é de 0,8.
Este é um experimento binomial com \( n = 10 \) e p = 0,8.
"pelo menos 8 deles têm seguro residencial com "MyInsurance" significa que 8 ou 9 ou 10 têm seguro residencial com "MyInsurance"
A probabilidade de pelo menos 8 em cada 10 terem seguro residencial com o “MyInsurance” é dada por
\( P( \text{pelo menos 8}) = P( \text{8 ou 9 ou 10}) \)
Use a regra de adição
\( = P(8)+ P(9) + P(10) \)
Use a fórmula de probabilidade binomial chamando "ter um seguro residencial com" MyInsurance "como um" sucesso ".
\( = P(8 \; \text{sucesso em 10 tentativas}) + P(9 \; \text{sucesso em 10 tentativas}) + P(10 \; \text{sucesso em 10 tentativas}) \)

\( = \displaystyle{10\choose 8} \cdot 0,8^8 \cdot (1-0,8)^{10-8} + \displaystyle{10\choose 9} \cdot 0,8^9 \cdot (1-0,8) ^{10-9} + \displaystyle{10\choose 10} \cdot 0,8^10 \cdot (1-0,8)^{10-10} \)

\( = 0,30199 + 0,26843 + 0,10737 = 0,67779 \)
b)
É um problema de distribuição binomial com o número de tentativas é \( n = 500 \).
O número de pessoas entre 500 que se espera ter um seguro residencial com “MyInsurance” é dado pela média da distribuição binomial com \( n = 500 \) e \( p = 0,8 \).
\( \mu = n p = 500 \cdot 0,8 = 400 \)
Espera-se que 400 pessoas das 500 selecionadas aleatoriamente naquela cidade tenham um seguro residencial com “MyInsurance”.

Perguntas e suas soluções

Pergunta 1

Pergunta 2

Pergunta 3

Pergunta 4

Soluções para as questões acima

Solução para a pergunta 1

a)
Existem 3 números pares de 6 em um dado. Daí se você jogue um dado uma vez, a probabilidade de obter um número par é \( p = 3/6 = 1/2 \)
É um experimento binomial com \( n = 5 \) , \( k = 3 \) e \( p = 0,5 \)
\( P( \text{3 números pares em 5 tentativas} ) = \displaystyle{5\choose 3} 0,5^3 (1-0,5)^{5-3} = 0,3125 \)
b)
\( P (\text{pelo menos 3}) = P (3) + P(4) + P(5) = \displaystyle{5\choose 3} 0,5^3 (1-0,5)^{5-3} + {5\choose 4} 0,5^4 (1-0,5)^{5-4} + {5\choose 5} 0,5^5 (1-0,5)^{5-5} \)
\( = 0,3125 + 0,15625 + 0,03125 = 0,5 \)
c)
\( P (\text{no máximo 3}) = P (0) + P(1) + P(2) = \displaystyle {5\choose 0} 0,5^0 (1-0,5)^{5-0} + {5\choose 1} 0,5^1 (1-0,5)^{5-1} + {5\choose 2} 0,5^2 (1-0,5)^{5-2} \)
\( = 0,03125 + 0,15625 + 0,3125 = 0,5 \)
Observação
Os eventos “são obtidos pelo menos 3 números pares” na parte b) e “são obtidos no máximo 2 números pares” na parte c) são complementares e a soma de suas probabilidades é igual a 1.

Solução para a pergunta 2

Como o cartão é recolocado, é um experimento binomial com o número de tentativas \( n = 10 \)
Existem 26 cartas vermelhas em um baralho de 52. Portanto a probabilidade de obter um cartão vermelho em uma tentativa é \( p = 26/52 = 1/2 \)
O evento A = “obter no mínimo 3 cartões vermelhos” é complementar ao evento B = “obter no máximo 2 cartões vermelhos”; por isso
\( P(A) = 1 - P(B) \)
\( P(A) = P(3)+P(4) + P(5)+P(6) + P(7)+P(8) + P(9) + P(10) \)
\( P(B) = P(0) + P(1) + P(2) \)
O cálculo de \( P(A)\) precisa de muito mais operações comparado aos cálculos de \( P(B) \), portanto é mais eficiente calcular \( P(B) \) e usar a fórmula para complemento eventos: \( P(A) = 1 - P(B) \).
\(P(B) = \displaystyle {10\choose 0} 0,5^0 (1-0,5)^{10-0} + {10\choose 1} 0,5^1 (1-0,5)^{10-1} + {10\choose 2} 0,5^2 (1-0,5)^{10-2} \\ = 0,00098 + 0,00977 + 0,04395 = 0,0547 \)

\( P(\text{obtendo pelo menos 3 cartões vermelhos}) = P(A) = 1 - P(B) = 0,9453 \)

Solução para a questão 3

Cada pergunta tem 5 respostas possíveis com uma correta. Portanto, a probabilidade de obter uma resposta correta em uma tentativa é \( p = 1/5 = 0,2 \)
É um experimento binomial com \( n = 20 \) e \( p = 0,2 \).
\( P(\text{o aluno responde 15 ou mais}) = P( \text{o aluno responde 15 ou 16 ou 17 ou 18 ou 19 ou 20}) \\ = P(15) + P(16) + P( 17) + P(18) + P(19) + P(20) \)
Usando a fórmula de probabilidade binomial
\( P(\text{aluno responde 15 ou mais}) = \displaystyle{20\choose 15} 0,2^{15} (1-0,2)^{20-15} + {20\choose 16} 0,2^{16 } (1-0,2)^{20-16} \\ \quad\quad\quad\quad\quad + \displaystyle {20\choose 17} 0,2^{17} (1-0,2)^{20-17} + {20\choose 18} 0,2^{18} (1-0,2)^{20-18} \\ \quad\quad\quad\quad\quad + \displaystyle {20\choose 19} 0,2^{19} (1 -0,2)^{20-19} + {20\choose 20} 0,2^{20} (1-0,2)^{20-20} \)
\( \quad\quad\quad\quad\quad \approx 0 \)
Conclusão: Responder perguntas aleatoriamente por meio de adivinhação não dá nenhuma chance de passar no teste.

Solução para a questão 4

Em ambos os casos, é um experimento binomial com
Canadá: \( p = 0,618 \) e \( n = 200 000 \)
média: \( \mu = n p = 200 000 \cdot 0,618 = 123600 \)
Espera-se que 123.600 entre 200 000 tenham ensino superior no Canadá.

Reino Unido: \( p = 0,508 \) e \( n = 200 000 \)
média: \( \mu = n p = 200.000 \cdot 0,508 = 101600 \)
Espera-se que 101.600 em 200.000 tenham ensino superior no Reino Unido.

Mais referências e links