Simplificar Expresiones de Valor Absoluto

Definición, Reglas y Soluciones Detalladas

Las expresiones con valor absoluto solo pueden simplificarse cuando se conoce el signo de la expresión dentro del valor absoluto. Para simplificar una expresión con valor absoluto, examinamos el signo de la cantidad dentro del valor absoluto. Si esa cantidad es positiva o igual a cero, su valor absoluto es la cantidad misma. Si esa cantidad es negativa, la multiplicamos por \( -1 \).

NOTA: El valor absoluto es positivo o igual a cero y NUNCA es negativo.

Definición y Reglas Principales

Definición de la Función de Valor Absoluto:

\[ \text{Si } x \ge 0 \text{ entonces } | x | = x \] \[ \text{Si } x < 0 \text{ entonces } | x | = (-1)x = -x \]

Por ejemplo, \( | 2 | = 2 \) porque 2 es positivo. Sin embargo, \( | -5 | = (-1)(-5) = 5 \) porque -5 es negativo.

Regla Fórmula Ejemplo
Regla del Producto \( |A \times B| = |A| \times |B| \) \( |(-2)x^2| = |-2| \times |x^2| = 2x^2 \)
Regla del Cociente \( \left| \dfrac{A}{B} \right| = \dfrac{|A|}{|B|} \) \( \left| \dfrac{-10}{x^2 + 1} \right| = \dfrac{|-10|}{|x^2 + 1|} = \dfrac{10}{x^2 + 1} \)
Raíz Cuadrada de un Cuadrado \( \sqrt{A^2} = |A| \) \( \sqrt{(x^2 + 5)^2} = |x^2 + 5| = x^2 + 5 \)

Ejemplo 1: Expresiones Numéricas

Simplifica las expresiones y reescríbelas sin valor absoluto:

  1. \( | -10 | \)
  2. \( | 0 | \)
  3. \( | -2 + 10 | \)
  4. \( | 1/2 - 20 | \)
  5. \( | \sqrt{3} - 5 | \)
  6. \( | \sqrt{14} - 3 \pi+ 10 | \)
  7. \( \left| \dfrac{-2}{5}\right| \)
Ver Soluciones del Ejemplo 1
  1. \( -10 \) es negativo, y de acuerdo con la definición: \[ | -10 | = (-1)(-10) = 10 \]
  2. De acuerdo con la definición: \[ | 0 | = 0 \]
  3. \( -2 + 10 = 8 \), que es positivo: \[ | -2 + 10 | = | 8 | = 8 \]
  4. \( 1/2 - 20 = -39/2 \) es negativo: \[ | 1/2 - 20 | = | -39/2 | = -(-39/2) = 39/2 \]
  5. \( \sqrt{3} - 5 \approx -3.27 \), que es negativo: \[ | \sqrt{3} - 5 | = - (\sqrt{3} - 5) = 5 - \sqrt{3} \]
  6. \( \sqrt{14} - 3 \pi + 10 \approx 4.32 \), que es positivo: \[ | \sqrt{14} - 3 \pi + 10 | = \sqrt{14} - 3 \pi + 10 \]
  7. \( \dfrac{-2}{5} = -\dfrac{2}{5} \) es negativo: \[ \left| \dfrac{-2}{5} \right| = \left| -\dfrac{2}{5} \right| = (-1) \left(-\dfrac{2}{5}\right) = \dfrac{2}{5} \]

Ejemplo 2: Expresiones Algebraicas

Simplifica las expresiones algebraicas y reescríbelas sin valor absoluto:

  1. \( | x^2 + 1 | \)
  2. \( | x + 3 | \), si \( x < -3 \)
  3. \( | -x + 2 | \), si \( x > 2 \)
Ver Soluciones del Ejemplo 2
  1. \( x^2 + 1 \) es siempre positivo, y de acuerdo con la definición: \[ \left| x^2 + 1 \right| = x^2 + 1 \]
  2. Si \( x < -3 \), entonces \( x + 3 < 0 \). De acuerdo con la definición: \[ \left| x + 3 \right| = - (x + 3) = -x - 3 \]
  3. Si \( x > 2 \), entonces \( x - 2 > 0 \) y \( -x + 2 < 0 \). De acuerdo con la definición: \[ \left| -x + 2 \right| = -(-x + 2) = x - 2 \]

Más Preguntas sobre Expresiones de Valor Absoluto

Reescribe las siguientes expresiones sin símbolos de valor absoluto o de raíz cuadrada:

  1. \( \left| -2 (-19 + 7) \right| = \)
  2. Si \( x < 9 \), entonces \( \left| x - 9 \right| = \)
  3. Si \( -3 < x < 3 \), entonces \( \left| x^2 - 9 \right| = \)
  4. Si \( \left| x \right| > 2 \), entonces \( \left| x^2 - 4 \right| = \)
  5. Si \( x > 1 \), entonces \( \left| \dfrac{ |-x| }{ x^2 - 1 } \right| = \)
  6. \( \left| ( - x^2 - 4)( - x^4 - 9) \right| = \)
  7. Si \( x < 2 \), entonces \( \sqrt{ x^2 - 4x + 4 } = \)
Ver Soluciones a Más Preguntas
  1. \[ | -2 (-19 + 7) | = | -2 (-12) | = |24| = 24 \]
  2. Si \( x < 9 \), entonces \( x - 9 < 0 \), por lo tanto: \[ | x - 9 | = - (x - 9) = -x + 9 \]
  3. Si \( -3 < x < 3 \), entonces \( |x| < 3 \), por lo tanto \( x^2 < 9 \). Esto se puede escribir como \( x^2 - 9 < 0 \), por lo tanto: \[ | x^2 - 9 | = - (x^2 - 9) = -x^2 + 9 \]
  4. Si \( |x| > 2 \), entonces \( x^2 > 4 \) y \( x^2 - 4 > 0 \), por lo tanto: \[ | x^2 - 4 | = x^2 - 4 \]
  5. Usa la regla del cociente: \[ \left| \frac{ |-x| }{ x^2 - 1 } \right| = \frac{ ||-x|| }{ |x^2 - 1| } \] Si \( x > 1 \), entonces \( x > 0 \), así que \( ||-x|| = |x| = x \).
    Además, \( x^2 - 1 > 0 \), así que \( |x^2 - 1| = x^2 - 1 \). Por lo tanto: \[ \left| \frac{ |-x| }{ x^2 - 1 } \right| = \frac{x}{x^2 - 1} \]
  6. Usa la regla del producto: \[ |(-x^2 - 4)(-x^4 - 9)| = |-x^2 - 4| \cdot |-x^4 - 9| \] Dado que ambas expresiones \( (-x^2 - 4) \) y \( (-x^4 - 9) \) son negativas: \[ |(-x^2 - 4)(-x^4 - 9)| = (-1)(-x^2 - 4)(-1)(-x^4 - 9) = (x^2 + 4)(x^4 + 9) \]
  7. Escribe \( x^2 - 4x + 4 \) como un cuadrado perfecto: \[ x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \] Entonces: \[ \sqrt{x^2 - 4x + 4} = \sqrt{(x - 2)^2} \] Usa la regla de la raíz cuadrada de un cuadrado: \[ \sqrt{(x - 2)^2} = |x - 2| \] Si \( x < 2 \), entonces \( x - 2 < 0 \), así que: \[ |x - 2| = - (x - 2) = -x + 2 \] \[ \sqrt{x^2 - 4x + 4} = |x - 2| = -x + 2 \]

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