Simplificar Expresiones de Valor Absoluto

Definición de la Función de Valor Absoluto

Este es un tutorial sobre cómo simplificar expresiones con valor absoluto. Es importante entender primero la definición del valor absoluto.
Las expresiones con valor absoluto solo se pueden simplificar cuando se conoce el signo de la expresión dentro del valor absoluto.
Si x ≥ 0 entonces | x | = x
si x < 0 entonces | x | = (-1) x
Para simplificar una expresión con valor absoluto, examinamos el signo de la cantidad dentro del valor absoluto. Si esa cantidad es positiva o igual a cero, su valor absoluto es la cantidad misma.
| 2 | = 2 porque la cantidad 2 que está dentro del valor absoluto es positiva.
Si esa cantidad es negativa, la multiplicamos por -1.
| - 5 | = (- 1)(- 5) = 5 porque la cantidad - 5 que está dentro del valor absoluto es negativa.
NOTA que el valor absoluto es siempre positivo o igual a cero y NUNCA es negativo.

Ejemplos con Soluciones Detalladas

Ejemplo 1

Simplifica las expresiones y reescríbelas sin valor absoluto
  1. | -10 |
  2. | 0 |
  3. | -2 + 10 |
  4. | 1/2 -20 |
  5. | √3 - 5 |
  6. | √(14) - 3 pi + 10 |
  7. | (-2) / 5 |
Solución al Ejemplo 1
  1. -10 es negativo y según la definición anterior | - 10 | se puede simplificar de la siguiente manera
    | -10 | = (-1)(-10) = 10
  2. según la definición anterior | 0 | se puede simplificar de la siguiente manera
    | 0 | = 0
  3. - 2 + 10 = 8 es positivo y según la definición anterior | -2 + 10 | se puede simplificar de la siguiente manera
    | -2 + 10 | = | 8 | = 8
  4. 1/2 - 20 = -39/2 es negativo, según la definición anterior | 1/2 -20 | se puede simplificar de la siguiente manera
    | 1/2 - 20 | = | -39/2 | = -(-39/2) = 39/2
  5. √3 - 5 es aproximadamente igual a -3.27 que es negativo, según la definición anterior | √3 - 5 | se puede simplificar de la siguiente manera
    | √3 - 5 | = - ( √3 - 5) = 5 - √3
  6. √(14) - 3 pi + 10 es aproximadamente igual a 4.32 que es positivo, según la definición anterior | √(14) - 3 pi + 10 | se puede simplificar de la siguiente manera
    | √(14) - 3 pi + 10 | = √(14) - 3 pi + 10
  7. (-2)/5 = -2/5 es negativo, según la definición anterior | (-2) / 5 | se puede simplificar de la siguiente manera
    | (-2) / 5 | = | -2 / 5 | =(-1)(-2/5) = 2/5

Ahora se presentan ejemplos con expresiones algebraicas.

Ejemplo 2

Simplifica las expresiones algebraicas y reescríbelas sin valor absoluto.
  1. | x2 + 1 |
  2. | x + 3 | , si x < -3
  3. | - x + 2 | , si x > 2

Solución al Ejemplo 2

  1. x2 + 1 siempre es positivo y según la definición anterior | x2 + 1 | se puede simplificar de la siguiente manera
    | x2 + 1 | = x2 + 1 porque la cantidad x2 + 1 dentro del valor absoluto es positiva.
  2. si x < - 3 entonces x + 3 < 0. Según la definición anterior | x + 3 | se puede simplificar de la siguiente manera
    | x + 3 | = - (x + 3) = - x - 3 porque la cantidad x + 3 dentro del valor absoluto es negativa.
  3. si x > 2 entonces x - 2 > 0 y - x + 2 < 0. Según la definición anterior | -x + 2 | se puede simplificar de la siguiente manera
    | -x + 2 | = - ( - x + 2 ) = x - 2 porque la cantidad - x + 2 dentro del valor absoluto es negativa.

Reglas Importantes para las Expresiones de Valor Absoluto

  1. Regla del producto: | A × B | = | A | × | B |
    Ejemplo: | (-2) x2 | = | -2 | × | x2 | = 2 x2 , x2 es positivo o cero.
  2. Regla del cociente: | A / B | = | A | / | B |
    Ejemplo: | -10 / (x2+1) | = | -10 | / | (x2+1) | = 10 / (x2 + 1) , x2 + 1 es positivo.
  3. Regla de la raíz cuadrada de un cuadrado: √(A2) = | A |
    Ejemplo: √(x2 + 5)2 = | x2 + 5 | = x2 + 5 , x2 + 5 es positivo.

Más Preguntas sobre Expresiones de Valor Absoluto con Soluciones

Reescribe las siguientes expresiones sin valor absoluto.
  1. | -2 (-19 + 7) | =
  2. Si x < 9, entonces | x - 9 | =
  3. Si -3 < x < 3, entonces | x2 - 9 | =
  4. Si | x | > 2 , entonces | x2 - 4 | =
  5. Si x > 1, entonces | | - x | / ( x2 - 1) | =
  6. | (- x2 - 4) ( - x4 - 9) | =
    7. Reescribe sin raíz cuadrada o valor absoluto.
  7. Si x < 2, entonces √(x2 - 4 x + 4) =

Soluciones a las Preguntas Anteriores

  1. | -2 (-19 + 7) | = | - 2 (-12) | = |24| = 24
  2. x < 9 nos da x - 9 < 0
    entonces
    | x - 9 | = - (x - 9) = - x + 9
  3. Si -3 < x < 3, entonces x2 - 9 < 0
    entonces
    | x2 - 9 | = - (x2 - 9) = - x2 + 9
  4. Si | x | > 2 , entonces x2 - 4 > 0
    entonces
    | x2 - 4 | = - ( x2 - 4) = - x2 + 4
  5. Usa la regla del cociente para escribir
    | | - x | / ( x2 - 1) | = | | - x | | / |( x2 - 1) |
    Si x > 1, entonces x > 0 y por lo tanto | | - x | | = | x | = x
    Si x > 1, entonces x2 - 1 > 0 y por lo tanto |( x2 - 1) | = x2 - 1
    Finalmente
    | | - x | / ( x2 - 1) | = | | - x | | / |( x2 - 1) | = x / ( x2 - 1 )
  6. Usa la regla del producto para escribir
    | (- x2 - 4) ( - x4 - 9) | = | (- x2 - 4) | | ( - x4 - 9) |
    - x2 - 4 y - x4 - 9 son ambos negativos por lo tanto
    | (- x2 - 4) ( - x4 - 9) | = (-1) (- x2 - 4) (-1) ( - x4 - 9)
    = ( x2 + 4 ) ( x4 + 9)
  7. Escribe x2 - 4 x + 4 como un cuadrado perfecto
    x2 - 4 x + 4 = (x - 2)2
    entonces
    √(x2 - 4 x + 4) = √(x - 2)2
    usa la regla de la raíz cuadrada de un cuadrado para escribir
    √(x2 - 4 x + 4) = √(x - 2)2 = | x - 2 |
    Si x < 2, entonces x - 2 < 0
    entonces
    √(x2 - 4 x + 4) = √(x - 2)2 = | x - 2 | = - (x - 2) = - x + 2

Más enlaces y referencias a funciones de valor absoluto

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