Simplificar Expresiones de Valor Absoluto

Definición de la Función de Valor Absoluto

Este es un tutorial sobre cómo simplificar expresiones con valor absoluto. Es importante entender primero la definición de valor absoluto.
Las expresiones con valor absoluto se pueden simplificar solo cuando se conoce el signo de la expresión dentro del valor absoluto.

\[ \text{Si} \; x \ge 0 \; \text{entonces} \; | x | = x \] \[ \text{Si} \; x \lt 0 \; \text{entonces} \; | x | = (-1) x = - x \]

Para simplificar una expresión con valor absoluto, examinamos el signo de la cantidad dentro del valor absoluto. Si esa cantidad es positiva o igual a cero, su valor absoluto es la cantidad misma.
\( | 2 | = 2 \) porque la cantidad 2 que está dentro del valor absoluto es positiva.
Si esa cantidad es negativa, la multiplicamos por \( -1 \).
\( | -5 | = (- 1)(-5) = 5 \) porque la cantidad \( -5 \) que está dentro del valor absoluto es negativa.
NOTA que el valor absoluto es siempre positivo o igual a cero y NUNCA es negativo.

Ejemplos con Soluciones Detalladas

Ejemplo 1

Simplifica las expresiones y reescríbelas sin valor absoluto.

\( | -10 | \)
\( | 0 | \)
\( | -2 + 10 | \)
\( | 1/2 -20 | \)
\( | \sqrt{3} - 5 | \)
\( | \sqrt{14} - 3 \pi + 10 | \)
\( \left| \dfrac{-2}{5}\right| \)

Solución al Ejemplo 1

\( -10 \) es negativo y de acuerdo con la definición anterior, \( | -10 | \) se puede simplificar de la siguiente manera: \[ | -10 | = (-1)(-10) = 10 \]
De acuerdo con la definición anterior, \( | 0 | \) se puede simplificar de la siguiente manera: \[ | 0 | = 0 \]
\( -2 + 10 = 8 \) es positivo y de acuerdo con la definición anterior, \( | -2 + 10 | \) se puede simplificar de la siguiente manera: \[ | -2 + 10 | = | 8 | = 8 \]
\( 1/2 - 20 = -39/2 \) es negativo, según la definición anterior, \( | 1/2 -20 | \) se puede simplificar de la siguiente manera: \[ | 1/2 - 20 | = | -39/2 | = -(-39/2) = 39/2 \]
\( \sqrt {3} - 5 \approx -3.27 \), que es negativo, según la definición se puede simplificar de la siguiente manera: \[ | \sqrt {3} - 5 | = - ( \sqrt {3} - 5) = 5 - \sqrt {3} \]
\( \sqrt{14} - 3 \pi + 10 \approx 4.32 \), que es positivo, según la definición anterior se puede simplificar de la siguiente manera: \[ | \sqrt{14} - 3 \pi + 10 | = \sqrt{14} - 3 \pi + 10 \]
\( \dfrac{-2}{5} = - \dfrac{2}{5} \) es negativo, según la definición anterior se puede simplificar de la siguiente manera: \[ | \dfrac{-2}{5} | = | - \dfrac{2}{5} | =(-1) (- \dfrac{2}{5}) = \dfrac{2}{5} \]

A continuación se presentan ejemplos con expresiones algebraicas.

Ejemplo 2

Simplifica las expresiones algebraicas y reescríbelas sin valor absoluto.

\( | x^2 + 1 | \)
\( | x + 3 | \) , si \( x \lt -3 \)
\( | -x + 2 | \) , si \( x \gt 2 \)

Solución al Ejemplo 2

\( x^2 + 1 \) es siempre positivo y según la definición anterior, \( \left| x^2 + 1 \right| \) se puede simplificar de la siguiente manera: \[ \left| x^2 + 1 \right| = x^2 + 1 \]
Si \( x \lt -3 \), entonces \( x + 3 \lt 0 \). Según la definición anterior, \( \left| x + 3 \right| \) se puede simplificar de la siguiente manera: \[ \left| x + 3 \right| = - (x + 3) = -x - 3 \]
Si \( x > 2 \), entonces \( x - 2 > 0 \) y \( -x + 2 \lt 0 \). Según la definición anterior, \( \left| -x + 2 \right| \) se puede simplificar de la siguiente manera: \[ \left| -x + 2 \right| = -(-x + 2) = x - 2 \]

Reglas Importantes para las Expresiones de Valor Absoluto

Regla del producto: \( |A \times B| = |A| \times |B| \)
Ejemplo: \[ |(-2)x^2| = |-2| \times |x^2| = 2x^2 \] \( x^2 \) es positivo o cero.
Regla del cociente: \( \left| \dfrac{A}{B} \right| = \dfrac{|A|}{|B|} \)
Ejemplo: \[ \left| \dfrac{-10}{x^2 + 1} \right| = \dfrac{|-10|}{|x^2 + 1|} = \dfrac{10}{x^2 + 1} \] \( x^2 + 1 \) es positivo.
Regla de la raíz cuadrada de un cuadrado: \( \sqrt{A^2} = |A| \)
Ejemplo: \[ \sqrt{(x^2 + 5)^2} = |x^2 + 5| = x^2 + 5 \] \( x^2 + 5 \) es positivo.

Más Preguntas sobre Expresiones de Valor Absoluto con Soluciones

Reescribe las siguientes expresiones sin valor absoluto.

\( \left| -2 (-19 + 7) \right| = \)
Si \( x \lt 9 \), entonces \( \left| x - 9 \right| = \)
Si \( -3 \lt x \lt 3 \), entonces \( \left| x^2 - 9 \right| = \)
Si \( \left| x \right| > 2 \), entonces \( \left| x^2 - 4 \right| = \)
Si \( x > 1 \), entonces \( \left| \dfrac{ |-x| }{ x^2 - 1 } \right| = \)
\( \left| ( - x^2 - 4)( - x^4 - 9) \right| = \)
Reescribe sin raíz cuadrada ni valor absoluto. Si \( x \lt 2 \), entonces \[ \sqrt{ x^2 - 4x + 4 } = \]

Soluciones a las Preguntas Anteriores

\[ | -2 (-19 + 7) | = | -2 (-12) | = |24| = 24 \]
Si \( x \lt 9 \), entonces \( x - 9 \lt 0 \), por lo tanto \[ | x - 9 | = - (x - 9) = -x + 9 \]
Si \( -3 \lt x \lt 3 \), entonces \( |x| \lt 3 \), por lo tanto \( x^2 \lt 9 \), lo que se puede escribir como: \( x^2 - 9 \lt 0 \), por lo tanto \[ | x^2 - 9 | = - (x^2 - 9) = -x^2 + 9 \]
Si \( |x| > 2 \), entonces \( x^2 > 4 \) y \( x^2 - 4 > 0 \), por lo tanto \[ | x^2 - 4 | = (x^2 - 4) \]
Usa la regla del cociente para escribir \[ \left| \frac{ |-x| }{ x^2 - 1 } \right| = \frac{ ||-x|| }{ |x^2 - 1| } \] Si \( x > 1 \), entonces \( x > 0 \), así que \( ||-x|| = |x| = x \).
Además, \( x^2 - 1 > 0 \), así que \( |x^2 - 1| = x^2 - 1 \), por lo tanto \[ \left| \frac{ |-x| }{ x^2 - 1 } \right| = \frac{x}{x^2 - 1} \]
Usa la regla del producto para escribir \[ |(-x^2 - 4)(-x^4 - 9)| = |-x^2 - 4| \cdot |-x^4 - 9| \] Dado que ambas expresiones \( (-x^2 - 4) \) y \( (-x^4 - 9) \) son negativas, tenemos: \[ |(-x^2 - 4)(-x^4 - 9)| = (-1)(-x^2 - 4)(-1)(-x^4 - 9) = (x^2 + 4)(x^4 + 9) \]
Escribe \( x^2 - 4x + 4 \) como un cuadrado perfecto: \[ x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \] Entonces: \[ \sqrt{x^2 - 4x + 4} = \sqrt{(x - 2)^2} \] Usa la regla de la raíz cuadrada de un cuadrado: \[ \sqrt{(x - 2)^2} = |x - 2| \] Si \( x \lt 2 \), entonces \( x - 2 \lt 0 \), así que: \[ |x - 2| = - (x - 2) = -x + 2 \] \[ \sqrt{x^2 - 4x + 4} = |x - 2| = -x + 2 \]