10 Problemas de Práctica con Soluciones Paso a Paso
Pon a prueba tus conocimientos y resuelve preguntas de álgebra que involucran ecuaciones lineales, simplificación de expresiones algebraicas y de valor absoluto, cálculo de la distancia entre dos puntos, determinación de las intersecciones con el eje x, evaluación de funciones y cálculo de la pendiente de una recta.
Solución:
Expande los términos en ambos lados:
\[ -15x - 10 - x + 3 = -16x - 20 + 13 \]Agrupa los términos semejantes:
\[ -16x - 7 = -16x - 7 \]Suma \( 16x + 7 \) a ambos lados:
\[ -16x - 7 + 16x + 7 = -16x - 7 + 16x + 7 \]Simplifica para obtener:
\[ 0 = 0 \]Conclusión: La afirmación es verdadera para todos los valores de \( x \), por lo tanto, todos los números reales son soluciones. Esta ecuación es una identidad.
Solución:
Expande los factores:
\[ = 2a - 6 + 4b - 2a + 2b + 6 + 5 \]Agrupa y combina los términos semejantes:
\[ = (2a - 2a) + (4b + 2b) + (-6 + 6 + 5) \]Respuesta:
\[ = 6b + 5 \]Si \( x \lt 2 \), simplifica la expresión:
\[ |x - 2| - 4|-6| \]Solución:
Si \( x \lt 2 \), entonces \( x - 2 \lt 0 \).
De acuerdo con la definición de valor absoluto, dado que \( (x - 2) \lt 0 \):
\[ |x - 2| = -(x - 2) \]Y sabemos que \( |-6| = 6 \).
Sustituye estos valores de nuevo en la expresión dada:
\[ -(x - 2) - 4(6) = -x + 2 - 24 \]Agrupa los términos semejantes:
Respuesta: \( -x - 22 \)
Solución:
Suma 3 a ambos lados para aislar el valor absoluto:
\[ |-2x + 2| = 0 \]De acuerdo con la definición de valor absoluto, si el valor absoluto es igual a 0, la expresión interna debe ser 0:
\[ -2x + 2 = 0 \]Resuelve para \( x \):
Respuesta: \( x = 1 \)
Encuentra la distancia entre los puntos \( (-4, -5) \) y \( (-1, -1) \).
Solución:
Según la fórmula de la distancia \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \), sustituye las coordenadas:
\[ d = \sqrt{(-1 - (-4))^2 + (-1 - (-5))^2} \]Simplifica los términos dentro de los paréntesis:
\[ d = \sqrt{(-1 + 4)^2 + (-1 + 5)^2} \] \[ d = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} \] \[ d = \sqrt{9 + 16} \]Respuesta: \( d = \sqrt{25} = 5 \)
Encuentra la intersección con el eje x de la gráfica de la ecuación: \( 2x - 4y = 9 \)
Solución:
Para encontrar la intersección con el eje x, establece \( y = 0 \) en la ecuación y resuelve para \( x \):
\[ 2x - 4(0) = 9 \] \[ 2x = 9 \]Respuesta: \( x = \frac{9}{2} \). La intersección con el eje x está en el punto \( (\frac{9}{2}, 0) \).
Encuentra la pendiente de la recta que pasa por los puntos \( (-1, -1) \) y \( (2, 2) \).
Solución:
Usa la fórmula de la pendiente \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \):
\[ m = \frac{2 - (-1)}{2 - (-1)} \] \[ m = \frac{2 + 1}{2 + 1} \]Respuesta: \( m = \frac{3}{3} = 1 \)
Encuentra la pendiente de la recta: \( 5x - 10y = 7 \)
Solución:
Reescribe la ecuación en la forma pendiente-intersección (\( y = mx + b \)):
\[ -10y = -5x + 7 \]Divide todos los términos entre \( -10 \):
\[ \frac{-10y}{-10} = \frac{-5x}{-10} + \frac{7}{-10} \] \[ y = \frac{1}{2}x - \frac{7}{10} \]Respuesta: La pendiente es el coeficiente de \( x \), que es \( \frac{1}{2} \).
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos \( (-1, -1) \) y \( (-1, 2) \).
Solución:
Primero, encuentra la pendiente \( m \):
\[ m = \frac{2 - (-1)}{-1 - (-1)} = \frac{3}{0} \]La división por cero no está definida, lo que significa que la recta es vertical y su ecuación toma la forma \( x = \text{constante} \).
Respuesta: Dado que ambos puntos tienen una coordenada x de \( -1 \), la ecuación de la recta es \( x = -1 \).
Evalúa \( f(2) - f(1) \) dado \( f(x) = 6x + 1 \).
Solución:
\( f(2) \) se encuentra sustituyendo \( x = 2 \) en \( f(x) \), y \( f(1) \) se encuentra sustituyendo \( x = 1 \).
\[ f(2) - f(1) = (6(2) + 1) - (6(1) + 1) \] \[ f(2) - f(1) = (12 + 1) - (6 + 1) \] \[ f(2) - f(1) = 13 - 7 \]Respuesta: \( 6 \)