Este tutorial proporciona explicaciones claras y soluciones paso a paso a temas comunes de álgebra: simplificación de expresiones, resolución de ecuaciones lineales (incluyendo ecuaciones de valor absoluto), búsqueda de pendientes e intersecciones, y escritura de ecuaciones de rectas.
Formato: Revisa el Ejemplo paso a paso, luego pon a prueba tu comprensión con el Ejercicio Correspondiente que se encuentra debajo.
Ejemplo 1: Simplifica la expresión:
\[ 2(-4a - 5b) - (8 + b) + b + (-2b + 4) - 5a \]Solución:
Primero, distribuye todas las multiplicaciones:
\[ -8a - 10b - 8 - b + b - 2b + 4 - 5a \]Luego, agrupa los términos semejantes:
\[ (-8a - 5a) + (-10b - b + b - 2b) + (-8 + 4) \]Respuesta Final: \( -13a - 12b - 4 \)
Solución:
Distribuye los términos:
\[ 2a - 16b - 5 + b + b + 6b - 9 - a \]Agrupa los términos semejantes:
\[ (2a - a) + (-16b + b + b + 6b) + (-5 - 9) \]Respuesta: \( a - 8b - 14 \)
Ejemplo 2: Resuelve la ecuación:
\[ 2(-3x - 5) - (8 - x) = -2(2x + 4) + 12 \]Solución:
Distribuye en ambos lados:
\[ -6x - 10 - 8 + x = -4x - 8 + 12 \]Combina los términos semejantes:
\[ -5x - 18 = -4x + 4 \]Suma 18 a ambos lados:
\[ -5x = -4x + 22 \]Suma \(4x\) a ambos lados:
\[ -x = 22 \]Multiplica ambos lados por \(-1\):
Respuesta Final: \( x = -22 \)
Comprobación: Sustituir \(x = -22\) satisface ambos lados de la ecuación.
Solución:
Distribuye y expande:
\[ -2x - 10 + 6 - x = -6x - 12 + 12 \]Combina los términos semejantes:
\[ -3x - 4 = -6x \]Suma \(6x\) y \(4\) a ambos lados:
\[ 3x = 4 \]Respuesta: \( x = \frac{4}{3} \)
Ejemplo 3: Si \(x > -2\), simplifica:
\[ 2|x + 2| - 3x - (-2 - x) + |6 - 9| \]Solución:
Dado que \(x > -2\), tenemos \(x + 2 > 0\). Según la definición de valor absoluto:
\[ |x + 2| = x + 2 \]También evalúa el valor absoluto constante:
\[ |6 - 9| = |-3| = 3 \]Reescribe la expresión y expande:
\[ 2(x + 2) - 3x - (-2 - x) + 3 \] \[ 2x + 4 - 3x + 2 + x + 3 \]Agrupa los términos semejantes:
\[ (2x - 3x + x) + (4 + 2 + 3) \]Respuesta Final: \( 9 \)
Solución:
Dado que \(x > 3\), sabemos que \(x - 3 > 0\), por lo tanto \( |x - 3| = x - 3 \).
Además, \( |9 - 20| = |-11| = 11 \).
Sustituye y expande:
\[ 2(x - 3) + 6x - 2 + 3x + 11 \] \[ 2x - 6 + 6x - 2 + 3x + 11 \]Agrupa los términos semejantes:
Respuesta: \( 11x + 3 \)
Ejemplo 4: Encuentra la pendiente y la intersección con el eje y de la recta:
\[ 2y - 3x = 10 \]Solución:
Reescribe la ecuación en la forma pendiente-intersección (\(y = mx + b\)):
\[ 2y = 3x + 10 \]Divide todo entre 2:
\[ y = \frac{3}{2}x + 5 \]Respuesta Final: La pendiente es \( m = \frac{3}{2} \) y la intersección con el eje y es \( (0, 5) \).
Solución:
Reescribe en la forma pendiente-intersección:
\[ -3y = 6x + 7 \]Divide entre -3:
\[ y = -2x - \frac{7}{3} \]Respuesta: La pendiente es \( -2 \) y la intersección con el eje y es \( (0, -\frac{7}{3}) \).
Ejemplo 5: Encuentra la ecuación de la recta que pasa por \((2, 3)\) y \((4, 1)\).
Solución:
Primero, calcula la pendiente (\(m\)):
\[ m = \frac{1 - 3}{4 - 2} = \frac{-2}{2} = -1 \]Usa la forma punto-pendiente \(y - y_1 = m(x - x_1)\):
\[ y - 3 = -1(x - 2) \]Reescribe en la forma pendiente-intersección:
\[ y - 3 = -x + 2 \]Respuesta Final: \( y = -x + 5 \)
Solución:
Primero, calcula la pendiente:
\[ m = \frac{1 - 3}{-1 - 0} = \frac{-2}{-1} = 2 \]Dado que se da el punto \((0, 3)\), ya sabemos que la intersección con el eje y es \(b = 3\).
Usando \(y = mx + b\):
Respuesta: \( y = 2x + 3 \)