Se presentan problemas de Álgebra 2 cuidadosamente seleccionados, diseñados para desafiar a estudiantes de secundaria y fortalecer su razonamiento matemático. Cada problema viene acompañado de una solución clara y detallada para apoyar la comprensión y el dominio.
Resuelve la ecuación cuadrática: \[ 3x^2 - 5x - 2 = 0 \]
Usa la fórmula cuadrática: \[ x =\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} = \dfrac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(3)(-2)}}{2(3)} \] \[ = \dfrac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{6} = \dfrac{5 \pm \sqrt{49}}{6} \] \[ x = \dfrac{5 \pm 7}{6} \Rightarrow x = \dfrac{12}{6} = 2 \quad \text{o} \quad x = \dfrac{-2}{6} = -\dfrac{1}{3} \]
Simplifica la expresión: \[ \dfrac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6} \]
Factoriza numerador y denominador: \[ \dfrac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6} = \dfrac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 2)} \] Cancela el término común \( (x - 3) \) \[ \dfrac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6} = \dfrac{x + 3}{x + 2}, \quad x \ne 3 \]
Resuelve el sistema de ecuaciones: \[ \begin{cases} 2x + y = 7 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases} \]
De la primera ecuación: \[ y = 7 - 2x \] Sustituye en la segunda ecuación: \[ x^2 + (7 - 2x)^2 = 25 \Rightarrow x^2 + 49 - 28x + 4x^2 = 25 \Rightarrow 5x^2 - 28x + 24 = 0 \] Resuelve con la fórmula cuadrática: \[ x = \dfrac{28 \pm \sqrt{784 - 480}}{10} = \dfrac{28 \pm \sqrt{304}}{10} \] \[ x = \dfrac{28 \pm 4\sqrt{19}}{10} = \dfrac{14 \pm 2\sqrt{19}}{5} \] Encuentra \( y \) sustituyendo \( x \) por su valor en \( y = 7 - 2x \) \[ y = 7 - 2 \left( \dfrac{14 \pm 2\sqrt{19}}{5}\right) \] Simplifica \[ \begin{pmatrix}x=\dfrac{2\left(7-\sqrt{19}\right)}{5},\:&y=\dfrac{7+4\sqrt{19}}{5}\\ x=\dfrac{2\left(7+\sqrt{19}\right)}{5},\:&y=\dfrac{7-4\sqrt{19}}{5}\end{pmatrix} \]
Encuentra la inversa \( f^{-1}(x) \) de la función: \[ f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 3} \]
Sea \( y = \dfrac{2x - 1}{x + 3} \) e intercambia \( x \) y \( y \): \[ x = \dfrac{2y - 1}{y + 3} \] Multiplica en cruz: \[ x(y + 3) = 2y - 1 \] Expande el lado izquierdo: \[ xy + 3x = 2y - 1 \] Agrupa todos los términos con \( y \) en un lado \[xy - 2y = -3x - 1\] Factoriza \( y \). \[ y(x - 2) = -3x - 1 \] Divide ambos lados entre \( (x - 2) \) y simplifica para obtener: \[ y = \dfrac{-3x - 1}{x - 2} \] La función inversa está dada por: \[ f^{-1}(x) = \dfrac{-3x - 1}{x - 2} \]
Si \( f(x) = x^2 + 2x + 3 \) y \( g(x) = \sqrt{x + 4} \), encuentra el dominio de \( (g \circ f)(x) \).
Por definición: \[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) = \sqrt{f(x) + 4} \] El término \( f(x) + 4 \) dentro de la raíz cuadrada debe ser no negativo, por lo tanto: \[ f(x) + 4 \geq 0 \] Sustituye \( f(x) \) por su expresión: \[ x^2 + 2x + 3 + 4 \geq 0 \] Agrupa \[ x^2 + 2x + 7 \geq 0 \] El discriminante de la expresión cuadrática \( x^2 + 2x + 7 \) es: \[ \Delta = b^2 - 4 a c = 2^2 - 4(1)(7) = - 24 \] Dado que el discriminante es negativo y el coeficiente principal de la expresión cuadrática \( a = 1 \) es positivo, esta expresión cuadrática es siempre positiva y por lo tanto la desigualdad \( x^2 + 2x + 3 + 4 \geq 0 \) se satisface para todos los valores reales de \( x \), así que el dominio de \( (g \circ f)(x) \) es: \[ (-\infty, +\infty) \]
Resuelve la desigualdad: \[ \dfrac{x + 2}{x - 3} > 1 \]
Resta \( 1 \) de ambos lados y simplifica: \[ \dfrac{x + 2}{x - 3} - 1 > 0 \] Escribe \( 1 \) como \( \dfrac{x - 3}{x - 3} \): \[ \dfrac{x + 2}{x - 3} - \dfrac{x - 3}{x - 3} > 0 \] Resta las expresiones fraccionarias ya que tienen denominador común: \[ \dfrac{x + 2 - (x - 3)}{x - 3} > 0 \] \[ \dfrac{5}{x - 3} > 0 \] Esta desigualdad se satisface para\[ x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3 \] Usando notación de intervalo, el conjunto solución se escribe como: \[ (3 , + \infty) \]
Una secuencia geométrica tiene primer término \( a = 5 \) y razón común \( r = 3 \). ¿Cuál es el 6º término?
\[ a_n = a \cdot r^{n - 1} = 5 \cdot 3^{5} = 5 \cdot 243 = 1215 \]
Dado \( \log_2(x + 3) + \log_2(x - 1) = 3 \), resuelve para \( x \).
Primero encuentra el dominio de los valores de \( x \) donde debe estar la solución. Los argumentos de las expresiones logarítmicas deben ser positivos, por lo tanto las condiciones: \[ x + 3 \gt 0 \quad \text{y} \quad x - 1 > 0 \] El conjunto solución de las desigualdades anteriores, que es el dominio de la ecuación, es: \[ (1 , +\infty ) \] Usa la regla del producto: \[ \log_2[(x + 3)(x - 1)] = 3 \] Transforma la ecuación logarítmica a ecuaciones exponenciales: \[ (x + 3)(x - 1) = 2^3 = 8 \] Expande el lado izquierdo y agrupa términos semejantes: \[ x^2 + 2x - 3 = 8 \Rightarrow x^2 + 2x - 11 = 0 \] Usa fórmulas cuadráticas para resolver la ecuación cuadrática anterior: \[ x = \dfrac{-2 \pm \sqrt{48}}{2} = \dfrac{-2 \pm 4\sqrt{3}}{2} = -1 \pm 2\sqrt{3} \] Verifica el dominio y solo \[ x = - 1 + 2 \sqrt 3 \] es una solución de la ecuación dada.
Sea \( A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \), encuentra \( A^{-1} \) si existe.
La fórmula para la inversa de una matriz de 2 por 2 \( A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \) está dada por: \[ A^{-1} = \dfrac{1}{\det A} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \] Para \[ A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \] Determinante: \[ \det A = (2)(4) - (-1)(3) = 8 + 3 = 11 \] Inversa: \[ A^{-1} = \dfrac{1}{11} \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \]
Escribe la ecuación de una parábola con vértice en \( (2, -3) \) y que pasa por el punto \( (4, 5) \).
Usa la forma del vértice: \[ y = a(x - 2)^2 - 3 \] Sustituye el punto: \[ 5 = a(4 - 2)^2 - 3 \Rightarrow 5 = 4a - 3 \Rightarrow a = 2 \] Ecuación: \[ y = 2(x - 2)^2 - 3 \]
Dado que una raíz del polinomio cúbico \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - k \) es 2, encuentra todas las raíces de \( f(x) \).
Usa división sintética para dividir por \( x - 2 \): \[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 1 & -6 & 11 & -k \\ & & 2 & -8 & 6 \\ \hline & 1 & -4 & 3 & 6 - k \end{array} \] El residuo es \( 6 - k \).
Para que 2 sea una raíz, el residuo de la división sintética \( 6 - k \) debe ser igual a 0: \[ 6 - k = 0 \Rightarrow k = 6 \] Sustituye \( k \) por \( 6 \) en la división anterior: \[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 1 & -6 & 11 & - 6 \\ & & 2 & -8 & 6 \\ \hline & 1 & -4 & 3 & 0 \end{array} \] Usando la división sintética, escribimos: \[ f(x) = (x - 2)(x^2 - 4x + 3) \] Factoriza \( x^2 - 4x + 3 \) \[ f(x) = (x - 2)(x - 1)(x - 3) \] Así que las raíces de \( f(x) \) son \( 1, 2, 3 \).
Si \( f(x) = 3^{x+1} - 2 \) y \( f(a) = f(b) \), demuestra que \( a = b \). Luego explica qué te dice esto sobre la función.
Si \( f(a) = f(b) \), entonces: \[ 3^{a+1} - 2 = 3^{b+1} - 2 \Rightarrow 3^{a+1} = 3^{b+1} \] Dado que las funciones exponenciales son uno a uno (inyectivas): \[ a + 1 = b + 1 \Rightarrow a = b \] Conclusión: \( f(x) \) es uno a uno (inyectiva) y tiene una función inversa.
Resuelve para todos los valores reales de \( x \): \[ \left| \dfrac{2x - 5}{x + 1} \right| = 3 \]
Dominio de la ecuación dada: \( x \ne -1 \)
Divide en dos casos:
Caso 1: \[ \dfrac{2x - 5}{x + 1} = 3 \] Multiplica en cruz y resuelve: \[ 2x - 5 = 3(x + 1) \Rightarrow 2x - 5 = 3x + 3\] \[ \Rightarrow -8 = x \Rightarrow x = -8 \] Caso 2: \[ \dfrac{2x - 5}{x + 1} = -3 \] Multiplica en cruz y resuelve: \[2x - 5 = -3(x + 1) \Rightarrow 2x - 5 = -3x - 3 \Rightarrow 5x \] \[ = 2 \Rightarrow x = \dfrac{2}{5} \] Verifica las soluciones: Para \( x = - 8 \) \[ \left| \dfrac{2x - 5}{x + 1} \right| = \left| \dfrac{2(-8) - 5}{-8 + 1} \right| = 3 \] Por lo tanto \( x = - 8 \) es una solución de la ecuación dada.
Para \( x = \dfrac{2}{5} \) \[ \left| \dfrac{2x - 5}{x + 1} \right| = \left| \dfrac{2 \left( \dfrac{2}{5} \right) - 5}{ \dfrac{2}{5} + 1} \right| = 3 \] Por lo tanto \( x = \dfrac{2}{5} \) también es una solución de la ecuación dada.
La ecuación dada tiene dos soluciones: \[ \left\{ -8 , \dfrac{2}{5} \right\} \]
Sea \( f(x) = x^4 - 10x^2 + 9 \). Factoriza \( f(x) \) completamente sobre los números reales.
Sea \( y = x^2 \) y por lo tanto \( y^2 = x^4 \): \[ x^4 - 10x^2 + 9 = y^2 - 10y + 9 = (y - 1)(y - 9) \] Ahora sustituye de nuevo: \[ f(x) = x^4 - 10x^2 + 9 = (x^2 - 1)(x^2 - 9) \] \[ = (x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3) \]
Encuentra todos los valores reales de \( x \) que satisfacen la ecuación: \[ \sqrt{2x + 3} - \sqrt{-x + 7} = 1 \]
Aísla cada radical en lados opuestos. Suma \(\sqrt{-x + 7}\) a ambos lados y simplifica: \[ \sqrt{2x + 3} = \sqrt{-x + 7} + 1 \] Eleva al cuadrado ambos lados para eliminar la primera raíz cuadrada \[ \left(\sqrt{2x + 3}\right)^2 = \left(\sqrt{-x + 7} + 1\right)^2 \] \[ 2x + 3 = (-x + 7) + 2\sqrt{-x + 7} + 1 \] \[ 2x + 3 = -x + 8 + 2\sqrt{-x + 7} \] Aísla la raíz cuadrada restante. Resta \(-x + 8\) de ambos lados y simplifica: \[ 2x + 3 + x - 8 = 2\sqrt{-x + 7} \] \[ 3x - 5 = 2\sqrt{-x + 7} \] Eleva al cuadrado ambos lados nuevamente \[ (3x - 5)^2 = (2\sqrt{-x + 7})^2 \] \[ 9x^2 - 30x + 25 = 4(-x + 7) \] \[ 9x^2 - 30x + 25 = -4x + 28 \] Lleva todos los términos a un lado \[ 9x^2 - 30x + 25 + 4x - 28 = 0 \] \[ 9x^2 - 26x - 3 = 0 \] Usa la fórmula cuadrática: \[ x = \frac{-(-26) \pm \sqrt{(-26)^2 - 4(9)(-3)}}{2(9)} \] \[ x = \frac{26 \pm \sqrt{676 + 108}}{18} \] \[ x = \frac{26 \pm \sqrt{784}}{18} \] \[ x = \frac{26 \pm 28}{18} \] \[ x = \frac{54}{18} = 3 \quad \text{o} \quad x = \frac{-2}{18} = -\frac{1}{9} \] Verifica ambas soluciones en la ecuación original
Verifica \(x = 3\): \[ \sqrt{2(3) + 3} - \sqrt{-3 + 7} = \sqrt{6 + 3} - \sqrt{4} = \sqrt{9} - 2 = 3 - 2 = 1 \quad \checkmark \] Verifica \(x = -\frac{1}{9}\): \[ \sqrt{2(-\frac{1}{9}) + 3} - \sqrt{-(-\frac{1}{9}) + 7} = \sqrt{-\frac{2}{9} + 3} - \sqrt{\frac{1}{9} + 7} \] \[ = \sqrt{\frac{25}{9}} - \sqrt{\frac{64}{9}} = \frac{5}{3} - \frac{8}{3} = -1 \neq 1 \quad \text{Rechazar} \] La solución real de la ecuación dada es: \[ x = 3 \]
Sea \( f(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 5x + 6} \). Determina todas las asíntotas verticales y horizontales, y describe el comportamiento en los extremos.
Factoriza ambos: \[ f(x) = \dfrac{(x - 1)(x - 3)}{(x - 2)(x - 3)} \Rightarrow f(x) = \dfrac{x - 1}{x - 2}, \quad x \ne 3 \] Hay un hueco (discontinuidad evitable) en: \[ x = 3 \] Asíntota vertical: \[ f(x) = \dfrac{x - 1}{x - 2}, \quad x \ne 3 \] Iguala el denominador a cero. \[ x - 2 = 0 \] Resuelve para encontrar la asíntota vertical: \[ x = 2 \]
Asíntota horizontal: los grados del numerador y el denominador son iguales, la asíntota horizontal está dada por la razón de los coeficientes principales en el numerador y denominador. \[ \text{razón de coeficientes principales: } \dfrac{1}{1} = 1 \Rightarrow y = 1 \] Asíntota horizontal dada por: \[ y = 1 \]
Comportamiento en los extremos: A medida que \( x \to \pm\infty \), \( f(x) \to 1 \) lo que significa que la gráfica se mantiene cerca de la asíntota horizontal.
Resuelve para todos los valores reales de \( x \): \[ \log_3(x^2 - 4x) = \log_3(3x - 8) \]
Como los logaritmos tienen la misma base y son iguales, sus argumentos son iguales: \[ x^2 - 4x = 3x - 8 \] Reescribe la ecuación como: \[ x^2 - 7x + 8 = 0 \] Usa fórmulas cuadráticas: \[ x = \dfrac{7 \pm \sqrt{49 - 32}}{2} = \dfrac{7 \pm \sqrt{17}}{2} \] Debido a que al resolver, no tomamos en cuenta el dominio de la ecuación dada, ahora necesitamos verificar las soluciones de la ecuación dada calculando el lado izquierdo (LHS) y el lado derecho (RHS) de la ecuación y compararlos.
1) Para \[ x = \dfrac{7 + \sqrt{17}}{2} \] \[ \text{LHS} = \log_3(x^2 - 4x) = \log_3((\dfrac{7 + \sqrt{17}}{2})^2 - 4(\dfrac{7 + \sqrt{17}}{2})) \] \[ = \log _3\left(5+3\sqrt{17}\right)-\log _3\left(2\right) \] \[ \text{RHS} = \log_3(3x - 8) = \log_3(3(\dfrac{7 + \sqrt{17}}{2}) - 8) \] \[ = \log _3\left(5+3\sqrt{17}\right)-\log _3\left(2\right) \] Conclusión: LHS = RHS y por lo tanto \( x = \dfrac{7 + \sqrt{17}}{2} \) es una solución de la ecuación dada.
2) Para \[ x = \dfrac{7 - \sqrt{17}}{2} \] \[ \text{LHS} = \log_3(x^2 - 4x) = \log_3((\dfrac{7 - \sqrt{17}}{2})^2 - 4(\dfrac{7 - \sqrt{17}}{2})) \] \[ \approx \log_3( -3.68465 ) \] El LHS no es real porque el argumento del logaritmo es negativo.
No es necesario verificar el RHS para \( x = \dfrac{7 - \sqrt{17}}{2} \) porque el LHS no es real.
Conclusión: La solución de la ecuación dada es: \[ x = \dfrac{7 + \sqrt{17}}{2} \]
La suma de los primeros \( n \) términos de una secuencia geométrica es \( S_n = 81 \left(1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^n\right) \). Encuentra el menor \( n \) para el cual \( S_n > 80.99 \).
\[ S_n > 80.99 \Rightarrow 81 \left(1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^n\right) > 80.99 \] \[ \Rightarrow 1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^n > \dfrac{80.99}{81} \] \[ \Rightarrow - \left(\dfrac{1}{3}\right)^n > \dfrac{80.99}{81} - 1 \] Multiplica ambos lados de la desigualdad por \( -1 \) y cambia el signo de la desigualdad \[ \Rightarrow \left(\dfrac{1}{3}\right)^n < 1 - \dfrac{80.99}{81} \] Toma logaritmo de ambos lados de la desigualdad: \[ n \log\left(\dfrac{1}{3}\right) < \log\left(\frac{1}{8100}\right) \] \[ \Rightarrow n > \dfrac{\log\left(\frac{1}{8100}\right)}{\log(1/3)} \approx \dfrac{-3.908}{-0.4771} \approx 8.2 \] Como \( n \) es un entero positivo, su valor más pequeño para que \( S_n > 80.99 \) es el siguiente entero mayor que \( 8.2 \): \[ n = 9 \]
Sea \( f(x) = \sqrt{x + 2} \) y \( g(x) = \dfrac{1}{x - 1} \). Encuentra el dominio de \( (f \circ g)(x) \).
Por definición: \[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) \] \[ f(g(x)) = \sqrt{\dfrac{1}{x - 1} + 2} \Rightarrow \dfrac{1}{x - 1} + 2 \geq 0 \] \[ \Rightarrow \dfrac{1 + 2(x - 1)}{x - 1} \geq 0 \Rightarrow \dfrac{2x - 1}{x - 1} \geq 0 \] Resuelve usando una tabla de signos:
Indefinido en \( x = 1 \)
Puntos críticos: \( x = \dfrac{1}{2}, x = 1 \)
Intervalos de prueba para \( \dfrac{2x - 1}{x - 1} \):
Para \( x < \dfrac{1}{2} \): \( \quad \dfrac{2x - 1}{x - 1} \) es positivo
Para \( \dfrac{1}{2} < x < 1 \): \( \quad \dfrac{2x - 1}{x - 1} \) es negativo
Para \( x > 1 \): \( \quad \dfrac{2x - 1}{x - 1} \) es positivo
El dominio de \( (f \circ g)(x) \) está dado por: \[ (-\infty , \dfrac{1}{2} ] \cup (1, \infty) \]
Sea \( A = \begin{bmatrix} x & 2 \\ 1 & x \end{bmatrix} \). Encuentra todos los valores de \( x \) para los cuales \( A \) no es invertible.
Una matriz cuadrada es no invertible cuando su determinante es igual a cero: \[ \det(A) = x^2 - 2 = 0 \] La ecuación \( x^2 - 2 = 0 \) tiene dos soluciones : \( x = \sqrt 2 \) y \( x = - \sqrt 2 \)
Conclusión: La matriz \( A \) es invertible sobre todos los números reales excepto \( x = \pm \sqrt 2 \).