Raíz Cúbica Real de un Número Real
Un número \( y \) es la raíz cúbica de un número \( x \) si \( y^3 = x \).
Ejemplos numéricos
\( 1 \) es la raíz cúbica de \( 1 \) porque \( 1^3 = 1 \)
\( 2 \) es la raíz cúbica de \( 8 \) porque \( 2^3 = 8 \)
\( -10 \) es la raíz cúbica de \( -1000 \) porque \( (-10)^3 = -1000 \)
\( y = \sqrt[3]{x} \)
La gráfica de la función raíz cúbica se muestra a continuación.
Raíces Cúbicas Complejas (Teorema de De Moivre)
Si consideramos números complejos, cualquier \( x \) real no nulo tiene tres raíces cúbicas: una real y dos conjugadas complejas. Están dadas por:
\( y_1 = \sqrt[3]{x} \) (raíz real)
\( y_2 = \sqrt[3]{x}\left( -\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) \)
\( y_3 = \sqrt[3]{x}\left( -\dfrac{1}{2} - i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) \)
donde \( i = \sqrt{-1} \) es la unidad imaginaria.
Ejemplo con \( x = -27 \)
\( y_1 = \sqrt[3]{-27} = -3 \)
\( y_2 = -3\left( -\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = \dfrac{3}{2} - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,i \)
\( y_3 = -3\left( -\dfrac{1}{2} - i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = \dfrac{3}{2} + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,i \)
(Aproximadamente \(1.5 - 2.598i\) y \(1.5 + 2.598i\))