Tutoriales con soluciones detalladas a ejemplos y ejercicios correspondientes sobre cómo encontrar la ecuación de una circunferencia, su radio y su centro. También se proporcionan explicaciones detalladas.
Una circunferencia es el conjunto de puntos equidistantes de un punto \( C(h,k) \) llamado centro. La distancia fija \( r \) desde el centro a cualquier punto de la circunferencia se llama radio.
La ecuación estándar de una circunferencia con centro en \( C(h,k) \) y radio \( r \) es:
\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \]
Encuentra la ecuación de una circunferencia cuyo centro está en \((2, -4)\) y radio \(5\).
Sustituye \((h, k)\) por \((2, -4)\) y \(r\) por \(5\) en la ecuación estándar para obtener:
\[ (x - 2)^2 + (y - (-4))^2 = 5^2 \]
Simplifica:
\[ (x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 25 \]
Introduce los parámetros \(h\), \(k\) y \(r\) en este applet y traza la circunferencia. Verifica gráficamente que la ecuación corresponde a la circunferencia con el centro y radio dados.
Ejercicio Correspondiente 1
Encuentra la ecuación de una circunferencia cuyo centro está en \((2, -4)\) y radio \(3\).
Encuentra la ecuación de una circunferencia que tiene un diámetro cuyos extremos son los puntos \(A(-1, 2)\) y \(B(3, 2)\).
El centro \(C\) de la circunferencia es el punto medio del segmento que forma el diámetro \(AB\). Primero usamos la fórmula del punto medio para encontrar las coordenadas de \(C\):
\[ C\left( \frac{{(-1 + 3)}}{2}, \frac{{(2 + 2)}}{2} \right) = C(1,2) \]
El radio \(r\) es la mitad de la distancia entre \(A\) y \(B\). Por lo tanto:
\[ r = \frac{1}{2} \sqrt{ [3 - (-1)]^2 + [2 - 2]^2 } \]
\[ = \frac{1}{2} \sqrt{4^2 + 0^2} = 2 \]
Las coordenadas de \(C\) y el radio \(r\) se utilizan en la ecuación estándar de la circunferencia para obtener la ecuación:
\[ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 2^2 \]
Simplifica:
\[ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4 \]
Introduce los parámetros \(h\), \(k\) y \(r\) en este applet y traza la circunferencia. Verifica gráficamente que la ecuación es la de una circunferencia con el diámetro dado anteriormente.
Ejercicio Correspondiente 2
Encuentra la ecuación de una circunferencia que tiene un diámetro cuyos extremos son \(A(0, -2)\) y \(B(0, 2)\).
Encuentra el centro y el radio de la circunferencia con ecuación:
\[ x^2 - 4x + y^2 - 6y + 9 = 0 \]
Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia, primero reescribimos la ecuación dada en su forma estándar. Agrupa todos los términos con \(x\) y \(x^2\) y todos los términos con \(y\) y \(y^2\) usando paréntesis:
\[ (x^2 - 4x) + (y^2 - 6y) + 9 = 0 \]
Ahora completamos cuadrados dentro de los paréntesis:
\[ (x^2 - 4x + \color{red}{4}) - \color{red}{4} + (y^2 - 6y + \color{red}{9}) - \color{red}{9} + 9 = 0 \]
Que puede escribirse como:
\[ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 - 4 - 9 + 9 = 0 \]
Simplifica y escribe en forma estándar:
\[ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4 \]
\[ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 2^2 \]
Ahora comparamos esta ecuación con la ecuación estándar para obtener:
\[ \text{Centro en } C(h, k) = C(2, 3) \quad \text{y} \quad \text{radio } r = 2 \]
Ejercicio Correspondiente 3
Encuentra el centro y el radio de la circunferencia con ecuación:
\[ x^2 - 2x + y^2 - 8y + 1 = 0 \]
¿El punto \(P(3, 4)\) está dentro, fuera o en la circunferencia con ecuación:
\[ (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 9 \]
Primero encontramos la distancia desde el centro de la circunferencia al punto \(P\). Usando la ecuación dada, el centro \(C\) está en \((-2, 3)\) y el radio \(r = \sqrt{9} = 3\).
La distancia de \(C\) a \(P\) es igual a:
\[ \sqrt{[3 - (-2)]^2 + [4 - 3]^2} = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{26} \approx 5.1 \]
Dado que la distancia de \(C\) a \(P\) es \(\sqrt{26} \approx 5.1\), que es mayor que el radio \(r = 3\), el punto \(P\) está fuera de la circunferencia.
Puedes comprobar tu respuesta gráficamente usando este applet.
Ejercicio Correspondiente 4
¿El punto \(P(-1, -3)\) está dentro, fuera o en la circunferencia con ecuación:
\[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 4 \]
Encuentra la ecuación de la circunferencia tal que los tres puntos \(A(0, 4)\), \(B(3, 5)\) y \(D(7, 3)\) están sobre la circunferencia.
La distancia desde el centro \(C(h, k)\) de la circunferencia a cada uno de los puntos \(A\), \(B\) y \(D\) es constante e igual al radio \(r\) de la circunferencia. Escribe tres ecuaciones que indiquen que estas distancias son iguales al radio \(r\):
\[ d(A,C) = \sqrt{(h - 0)^2 + (k - 4)^2} = r \]
\[ d(B,C) = \sqrt{(h - 3)^2 + (k - 5)^2} = r \]
\[ d(D,C) = \sqrt{(h - 7)^2 + (k - 3)^2} = r \]
Escribe que \(d(A,C) = d(B,C)\) y \(d(A,C) = d(D,C)\):
\[ \sqrt{(h - 0)^2 + (k - 4)^2} = \sqrt{(h - 3)^2 + (k - 5)^2} \]
\[ \sqrt{(h - 0)^2 + (k - 4)^2} = \sqrt{(h - 7)^2 + (k - 3)^2} \]
Eleva al cuadrado cada lado de cada ecuación:
\[ (h - 0)^2 + (k - 4)^2 = (h - 3)^2 + (k - 5)^2 \]
\[ (h - 0)^2 + (k - 4)^2 = (h - 7)^2 + (k - 3)^2 \]
Expande los cuadrados en las ecuaciones anteriores y simplifica:
\[ -8k + 16 = -6h + 9 - 10k + 25 \]
\[ -8k + 16 = -14h + 49 - 6k + 9 \]
Escribe el sistema de ecuaciones anterior en forma estándar:
\[ \begin{cases} 2k + 6h = 18 \\ -2k + 14h = 42 \end{cases} \]
Usa el método de suma para resolver el sistema:
\[ 20h = 60 \quad \Rightarrow \quad h = 3 \]
Sustituye \(h\) por su valor \(3\) en una de las ecuaciones para obtener \(k\):
\[ k = 0 \]
Ahora usamos una de las fórmulas de distancia anteriores para encontrar el radio \(r\):
\[ r = \sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - 4)^2} = 5 \]
La ecuación de la circunferencia está dada por:
\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \]
\[ (x - 3)^2 + y^2 = 25 \]
A continuación se muestra la gráfica de la circunferencia con los tres puntos:
Ejercicio Correspondiente 5
Encuentra la ecuación de la circunferencia tal que los tres puntos \(A(-5, 0)\), \(B(1, 0)\) y \(D(-2, -3)\) están sobre la circunferencia.
Encuentra la ecuación de la circunferencia que es tangente a la línea cuya ecuación es \(x + y = 2\) y tiene su centro en \((3, 5)\).
El primer paso es determinar el punto de tangencia de la circunferencia y la línea \(x + y = 2\). Usa la propiedad de las circunferencias de que una línea que pasa por el centro \(C\) de una circunferencia y el punto de tangencia \(T\) (llamemos a esta línea \(CT\)) y la línea \(x + y = 2\) (llamemos a esta línea \(LT\)) tangente a la circunferencia son perpendiculares (ver gráfica a continuación).
Las pendientes \(m_1\) y \(m_2\) de dos líneas perpendiculares están relacionadas por la fórmula: \(m_1 \times m_2 = -1\). Encuentra la pendiente \(m_1\) de la línea \(LT\):
\[ x + y = 2 \quad \Rightarrow \quad y = -x + 2 \quad \Rightarrow \quad m_1 = -1 \]
Ahora usamos la fórmula para encontrar la pendiente \(m_2\) de la línea \(CT\):
\[ m_2 = -\frac{1}{m_1} = 1 \]
La ecuación de la línea \(CT\) que pasa por el centro \(C(3, 5)\) está dada por:
\[ y - 5 = m_2 (x - 3) \quad \Rightarrow \quad y = x + 2 \]
El punto de tangencia es la intersección de las líneas \(CT\) y \(LT\) y se encuentra resolviendo el sistema de ecuaciones:
\[ \begin{cases} x + y = 2 \\ y = x + 2 \end{cases} \]
El punto de tangencia está en \((0, 2)\).
La distancia entre el centro de la circunferencia y el punto de tangencia es igual al radio \(r\) de la circunferencia y está dada por:
\[ r = \sqrt{(3 - 0)^2 + (5 - 2)^2} = 3\sqrt{2} \]
Sean \(h\) y \(k\) las coordenadas \(x\) e \(y\) del centro de la circunferencia y \(r\) su radio, la ecuación de la circunferencia en forma estándar es:
\[ (x - 3)^2 + (y - 5)^2 = (3\sqrt{2})^2 \]
\[ (x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 18 \]
A continuación se muestra la gráfica de la circunferencia y la línea \(x + y = 2\) tangente a ella:
Ejercicio Correspondiente 6
Encuentra la ecuación de la circunferencia que es tangente a la línea cuya ecuación es \(x + 2y = 2\) y tiene su centro en \((0,5)\).