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Un círculo con centro \( C \) dado por sus coordenadas \( C(h,k) \) se muestra a continuación. Por definición, todos los puntos \( M(x,y) \) en el círculo están a igual distancia del centro. En otras palabras, un círculo de centro \( C \) es el conjunto de todos los puntos que están a igual distancia del punto \( C \). Esta distancia entre \( C \) y cualquier punto del círculo se llama radio y tiene longitud \( r \) en el gráfico siguiente.
La distancia desde el centro \( C(h,k) \) a un punto \( M(x,y) \) en el círculo está dada por \[ CM = \sqrt{(x - h)^2 + (y - k)^2} \] Para encontrar la ecuación, usamos la definición para escribir que la distancia \( CM \) es igual al radio \( r \) \[ \sqrt{(x - h)^2 + (y - k)^2} = r \] Trabajar con raíz cuadrada añade dificultades adicionales que pueden evitarse. La raíz cuadrada en la ecuación anterior puede eliminarse elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación para obtener \[ \left( \sqrt{(x - h)^2 + (y - k)^2} \right)^2 = r^2 \] Simplificamos para obtener la ecuación estándar de un círculo con centro \( C(h,k) \) y radio \( r \) \[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \]
Ejemplo 1
Encuentra la ecuación estándar del círculo con centro \( C(2,5) \) y radio \( r = 2 \).
Solución al Ejemplo 1
Dados el centro y el radio, la ecuación estándar del círculo es:
\[ (x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 2^2 \]
Para determinar si un punto dado está sobre un círculo, dentro de un círculo o fuera de un círculo, comparamos el cuadrado de la distancia desde el centro del círculo al punto dado con el cuadrado del radio. Usamos el cuadrado de la distancia en lugar de la distancia para evitar usar la raíz cuadrada.
Para un círculo de centro \( C(h,k) \) y radio \( r \), un punto \( P \) con coordenadas \( (x_0 , y_0) \):
1) está sobre el círculo, si se cumple la siguiente igualdad:
\[ (x_0 - h)^2 + (y_0 - k)^2 = r^2 \]
2) está dentro del círculo, si se cumple la siguiente desigualdad:
\[ (x_0 - h)^2 + (y_0 - k)^2 < r^2 \]
3) está fuera del círculo, si se cumple la siguiente desigualdad:
\[ (x_0 - h)^2 + (y_0 - k)^2 > r^2 \]
Ejemplo 2
Ecuación de un círculo y puntos dentro, fuera o sobre el círculo
¿Cuál de los siguientes puntos \( P_1(1,5) \), \( P_2(2,3) \) y \( P_3(4,7) \) está dentro, fuera o sobre el círculo dado en el ejemplo 1?
Solución al Ejemplo 2
El centro del círculo en el ejemplo 1 está en \( C(2,5) \) y tiene radio \( r = 2 \).
Encuentra el cuadrado de la distancia desde el centro del círculo a cada uno de los puntos dados y compáralo con el cuadrado del radio.
El cuadrado de la distancia desde \( C \) a \( P_1 \) es: \( (2-1)^2 + (5-5)^2 = 1\), que es menor que \( r^2 = 4 \). Por lo tanto, el punto \( P_1 \) está dentro del círculo.
El cuadrado de la distancia desde \( C \) a \( P_2 \) es: \( (2-2)^2 + (5-3)^2 = 4\), que es igual a \( r^2 = 4 \). Por lo tanto, el punto \( P_2 \) está sobre el círculo.
El cuadrado de la distancia desde \( C \) a \( P_3 \) es: \( (2-4)^2 + (5-7)^2 = 8\), que es mayor que \( r^2 = 4 \). Por lo tanto, el punto \( P_3 \) está fuera del círculo.
El círculo y los tres puntos se muestran a continuación y podemos verificar fácilmente la respuesta encontrada arriba.
Una de las propiedades importantes de una recta tangente a un círculo es que es perpendicular a la recta que pasa por el centro \( C \) y el punto de tangencia \( M \) como se muestra a continuación.
Ejemplo 3
Ecuación de un círculo y recta tangente
Encuentra la ecuación de la recta tangente al círculo con ecuación \( (x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 5 \) en el punto \( M(-4 , 3) \).
Solución al Ejemplo 3
Comparando la ecuación dada con la ecuación estándar general anterior, deducimos que el centro está en \( C(-2,2) \).
La pendiente \( m_1 \) de la recta que pasa por \( C M \) está dada por
\[ m_1 = \frac{3-2}{-4-(-2)} = -\frac{1}{2} \]
Sea \( m_2 \) la pendiente de la recta tangente. Como la recta tangente y \( C M \) son perpendiculares, las pendientes \( m_1 \) y \( m_2 \) se relacionan por
\[ m_1 \times m_2 = -1 \]
lo que da
\[ \left(-\frac{1}{2}\right) \times m_2 = -1 \]
resolvemos para \( m_2 \) para obtener
\[ m_2 = 2 \]
Ahora conocemos la pendiente \( m_2 \) y \( M(-4,3) \), el punto de tangencia por donde pasa la recta tangente. Usamos la fórmula punto-pendiente para encontrar la ecuación de la recta tangente al círculo dado
\[ y - 3 = 2 (x - (-4)) \]
\[ y = 2 x + 11 \]
Como ejercicio, grafica el círculo dado y la ecuación de la recta tangente encontrada arriba y verifica gráficamente que son tangentes en el punto \((-4,3)\).
Comencemos con la ecuación estándar de un círculo \[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \] Expandimos \[ x^2 - 2 h x + h^2 + y^2 - 2 k y + k^2 = r^2 \] Sean \[ A = - 2 h, \quad B = - 2 k, \quad C = h^2 + k^2 - r^2 \] Sustituimos en la ecuación expandida para obtener la forma general de la ecuación de un círculo: \[ x^2 + y^2 + A x + B y + C = 0 \]
Ejemplo 4
Encontrar la ecuación de un círculo dados tres puntos
Encuentra la ecuación del círculo que pasa por los puntos \( P_1(6,4) \), \( P_2(-1,5) \) y \( P_3(2,-4) \).
Solución al Ejemplo 4
Las coordenadas de un punto en un círculo deben satisfacer la ecuación del círculo. Escribimos que las coordenadas de cada uno de los puntos dados satisfacen la ecuación del círculo en su forma general: \( x^2 + y^2 + A x + B y + C = 0 \).
El punto \( P_1(6,4) \) está en el círculo; sustituimos \( x \) por \( 6 \) e \( y \) por \( 4 \) en la ecuación, por lo tanto: \( 6^2 + 4^2 + 6 A + 4 B + C = 0 \).
El punto \( P_2(-1,5) \) está en el círculo; sustituimos \( x \) por \( -1 \) e \( y \) por \( 5 \) en la ecuación, por lo tanto: \( (-1)^2 + 5^2 - A + 5 B + C = 0 \).
El punto \( P_3(2,-4) \) está en el círculo; sustituimos \( x \) por \( 2 \) e \( y \) por \( -4 \) en la ecuación, por lo tanto: \( 2^2 + (-4)^2 + 2 A - 4 B + C = 0 \).
Resolvemos el sistema de ecuaciones para \( (A,B,C) \) obtenido arriba y mostrado a continuación en forma estándar:
\[
\begin{cases}
6 A + 4 B + C = -52 \\
- A + 5 B + C = -26 \\
2 A - 4 B + C = -20
\end{cases}
\]
Usamos cualquier método para obtener la solución:
\[ A = -4, \quad B = -2, \quad C = -20 \]
Ahora sustituimos \( A \), \( B \) y \( C \) por sus valores y escribimos la ecuación del círculo de la siguiente manera:
\[ x^2 + y^2 - 4 x - 2 y - 20 = 0 \]
El círculo encontrado arriba y los tres puntos se muestran en el gráfico a continuación.
Ejemplo 5
Reescribir la ecuación general de un círculo en forma estándar.
Reescribe la ecuación del círculo dada por \( x^2 + y^2 + 6x - 2y + 5 = 0 \) y encuentra su centro y radio.
Solución al Ejemplo 5
Agrupamos, entre paréntesis, los términos en \( x \) y \( x^2 \) juntos y los términos en \( y \) y \( y^2 \) juntos:
\[ (x^2 + 6x) + (y^2 - 2y) + 5 = 0 \]
Completamos el cuadrado de cada binomio dentro de los paréntesis:
\[ (x + 3)^2 - 9 + (y - 1)^2 - 1 + 5 = 0 \]
Escribimos en forma estándar:
\[ (x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 5 \]
Comparamos la ecuación anterior con la estándar \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) e identificamos las coordenadas \( h \) y \( k \) del centro del círculo y el radio \( r \):
\[ h = -3, \quad k = 1, \quad r^2 = 5 \]
El centro del círculo tiene coordenadas: \( (-3, 1) \) y radio \( r = \sqrt{5} \).
Más tutoriales sobre la ecuación del círculo están disponibles en este sitio.
La exploración se realiza cambiando los parámetros \( h \), \( k \) y \( r \) incluidos en la ecuación estándar \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \).
Esta es una aplicación HTML5 para ayudar a explorar la ecuación de un círculo y las propiedades del círculo.
1 - Haz clic en el botón "dibujar" para comenzar. Usa los botones + y - en el panel izquierdo para acercar y alejar.
2 - Usa los controles deslizantes y/o cuadros de entrada para establecer los parámetros \( h \) y \( k \) en cero y el parámetro \( r \) en 1. Verifica que el círculo mostrado tiene el centro en \( (0,0) \) y radio igual a 1.
3 - Caso especial: Usa los controles deslizantes y/o cuadros de entrada para establecer \( r \) en cero y los parámetros \( h \) y \( k \) en diferentes valores. La gráfica del círculo es un punto. Explica.
(Pista: Resuelve la ecuación \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = 0^2 \))
4 - Mantén \( r \) igual a 1 y desplaza el círculo cambiando \( h \) y \( k \). Verifica que el centro del círculo está en \( (h , k) \).
5 - Mantén \( h \) y \( k \) constantes y cambia \( r \). Verifica que el círculo tiene radio \( r \).
6 - Establece \( h \), \( k \) y \( r \) en 1. El círculo tiene un punto de intersección con el eje x y un punto de intersección con el eje y. Estos se llaman intersecciones con los ejes x e y. Encuentra estos puntos analíticamente usando la ecuación del círculo.
\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \]
(Pista: Para encontrar las intersecciones con el eje x, establece \( y = 0 \) en la ecuación y resuelve para \( x \). Para encontrar las intersecciones con el eje y, establece \( x = 0 \) en la ecuación y resuelve para \( y \).)
7 - Establece \( r \) en 2 y \( h \) en un valor determinado. Cambia \( k \) de -1.8 a 1.8 (\( |h| < r \)). ¿Cuántas intersecciones con el eje x hay? Establece \( k \) en 2 (el radio), ¿cuántas intersecciones con el eje x hay? Establece \( k \) en -2, ¿cuántas intersecciones con el eje x hay? Establece \( k \) en valores mayores que 2 (el radio), ¿cuántas intersecciones con el eje x hay? Establece \( k \) en valores menores que -2, ¿cuántas intersecciones con el eje x hay? Explica analíticamente.
8 - Prueba la misma exploración que en 7 arriba con las intersecciones con el eje y cambiando el valor de \( h \).
9 - Ejercicio: Encuentra (analíticamente) valores de \( h \), \( k \) y \( r \) tales que el círculo asociado con estos valores no tenga intersecciones con el eje x o y. Verifica tu respuesta gráficamente.
Hojas de Trabajo de Matemáticas Paso a Paso
Calculadora de Intersecciones de Círculos con los Ejes X e Y
Tutorial sobre la Ecuación del Círculo
Problemas de Matemáticas y Autoevaluaciones en Línea.