Se presentan algunos problemas de ejemplo, con soluciones detalladas, para explicar las posibles aplicaciones de la Composición de Funciones.
Un recipiente cilíndrico tenía \( 500 \, \text{cm}^3 \) de agua y se está llenando a una velocidad constante de \( 100 \, \text{cm}^3 \) por segundo. El radio del recipiente es de \( 50 \, \text{cm} \).
a) Escribe una fórmula para la cantidad \( Q \) de agua en el recipiente después de t segundos.
b) Escribe una fórmula para la altura \( H \) del agua en el recipiente en términos de \( Q\).
c) Encuentra una expresión para la composición \( (H \circ Q)(t) \) y su significado.
d) ¿Cuánto tiempo tarda la altura \( H \) del agua en el recipiente en alcanzar los \( 50 \, \text{cm} \)?
Solución al Ejemplo 1
a) \( Q = 500 + 100 t \)
b) \( Q = \pi r^2 \times H \) lo que da \( H = \dfrac{Q}{\pi r^2} \)
c) \( (H \circ Q)(t) = H(Q(t)) = \dfrac{500 + 100 t}{\pi r^2} \)
Esto da la altura H(t) del agua en función del tiempo \( t \).
d) \( H(t) = \dfrac{500 + 100 t}{\pi r^2} = 50 \)
Resuelve para t: \( t = \dfrac{50 \times (\pi r^2) - 500}{100} = 3922 \) segundos ≈ 1 hora.
Se lanza una pequeña piedra a aguas tranquilas y crea una onda circular. El radio \( r \) de la onda de agua aumenta a razón de \( 2 \, \text{cm} \) por segundo.
a) Encuentra una expresión para el radio \( r \) en términos del tiempo \(t \) (en segundos) después de lanzar la piedra.
b) Si \( A\) es el área de la onda de agua, ¿cuál es el significado de la composición \( (A \circ r)(t) \)?
c) Encuentra el área \( A\) de la onda de agua después de 60 segundos.
Solución al Ejemplo 2
a) \( r = 2t \)
b) \( (A \circ r)(t) = A(r(t)) \) es el área en función del tiempo.
c) \( A = \pi r^2 \)
Por lo tanto: \( (A \circ r)(t) = A(r(t)) = \pi (2t)^2 = 4\pi t^2 \)
Cuando \( t = 60 \) segundos, \( A(60) = 4\pi 60^2 = 45289 \, \text{cm}^2 \)
Comenzando desde \( 50 \) metros, el radio \( r \) de una mancha de petróleo circular aumenta a razón de \( 0.5 \) metros/segundo.
a) Expresa el radio \( r \) en función del tiempo.
b) El área \( A \) de una forma circular viene dada por \( A = \pi r^2 \). Encuentra la función compuesta \( (A \circ r)(t) \) y explica su significado.
c) ¿Cuánto tiempo tardará el área en ser mayor a \( 10.000 \, \text{m}^2 \)?
Solución al Ejemplo 3
a) \( r = 50 + 0.5t \)
b) \( (A \circ r)(t) = A(r(t)) = \pi r^2(t) = \pi (50 + 0.5t)^2 \)
Es el área de la mancha de petróleo en función del tiempo.
c) \( \pi (50 + 0.5t)^2 > 10.000 \)
Resuelve la desigualdad anterior para obtener:
\( t > 79 \) segundos.
Después de aproximadamente 79 segundos, el área de la mancha de petróleo será mayor de \( 10.000 \, \text{m}^2 \).
Una varilla metálica se calienta en un horno donde la temperatura \( T \) varía con el tiempo \( t \) de la siguiente manera: \( T = 0.2 t + 100 \) (\( T \) en grados Celsius y \( t \) en segundos). La longitud \( L \) de la varilla varía con la temperatura y, por lo tanto, con el tiempo según la fórmula: \( L = 100 + 10^{-4}t \) (\( L \) en cm). Encuentra \( L \) en función de la temperatura \( T \).
Solución al Ejemplo 4
La longitud de la varilla cambia con la temperatura según la composición de funciones:
\( L(t) = (L \circ T)(t) = 100 + 10^{-4}t \)
Dado que \( T = 0.2 t + 100 \), podemos escribir \( t = \dfrac{T - 100}{0.2} \).
Ahora sustituimos \( t \) por \( \dfrac{T - 100}{0.2} \) en \( L(t) \) para obtener:
\( L = 100 + 10^{-4} \left(\dfrac{T - 100}{0.2}\right) \)
\( L = 100 + 5 \times 10^{-4}(T - 100) \)
El aire escapa de un globo a una velocidad constante de \( 100 \, \text{cm}^3 \) por segundo. ¿Cuál es la tasa de cambio del radio del globo (supuesto una esfera) cuando \( r = 10 \, \text{cm} \)?
Solución al Ejemplo 5
El volumen \( V \) del globo (supuesto una esfera) de radio \( r \) viene dado por: \( V = \dfrac{4}{3} \pi r^3 \).
\( V \) y \( r \) están relacionados por la composición de funciones:
\( V(t) = (V \circ r)(t) = V(r(t)) \).
Usando la regla de la cadena:
\( \dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr} \times \dfrac{dr}{dt} \)
donde \( \dfrac{dV}{dt} \) es la tasa de cambio (con el tiempo) del volumen y \( \dfrac{dr}{dt} \) es la tasa de cambio (con el tiempo) del radio.
Calcula la derivada: \( \dfrac{dV}{dr} = 4 \pi r^2 \).
Sustituye \( \dfrac{dV}{dt} \) y \( \dfrac{dV}{dr} \) en \( \dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr} \times \dfrac{dr}{dt} \) para obtener:
\( 100 = 4 \pi r^2 \dfrac{dr}{dt} \).
La tasa de cambio (con el tiempo) del radio, cuando \( r = 10 \, \text{cm} \), viene dada por:
\( \dfrac{dr}{dt} = \dfrac{100}{4 \pi r^2} = \dfrac{100}{4 \pi 10^2} \approx 0.08 \, \text{cm/segundo} \).