Dominio y Rango de una Función

Se presenta un tutorial paso a paso, con soluciones detalladas, sobre cómo encontrar el dominio y el rango de funciones de valor real. Primero se presentan las definiciones de estos dos conceptos. Una tabla de dominio y rango de funciones básicas podría ser útil para responder las preguntas a continuación.

Definición del Dominio de una Función

Para una función \( f \) definida por una expresión con variable \( x \), el dominio implícito de \( f \) es el conjunto de todos los números reales que la variable \( x \) puede tomar tal que la expresión que define la función sea real. El dominio también se puede dar explícitamente.
También Calculadora Paso a Paso para Encontrar el Dominio de una Función

Definición del Rango de una Función

El rango de \( f \) es el conjunto de todos los valores que toma la función cuando \( x \) toma valores en el dominio.
También una Calculadora Paso a Paso para Encontrar el Rango de una Función está incluida en este sitio web.


Ejemplos con Soluciones Detalladas


Ejemplo 1

Encuentre el dominio de la función \( f \) definida por \[ f(x) = \dfrac{1}{x-1} \] Solución al Ejemplo 1
\( x \) puede tomar cualquier número real excepto 1 ya que \( x = 1 \) haría que el denominador sea igual a cero y la división por cero no está permitida en matemáticas. Por lo tanto, el dominio en notación de intervalo viene dado por el conjunto
\( (- \infty, 1) \cup (1, + \infty) \)

Problema Coincidente 1

Encuentre el dominio de la función \( f \) definida por \[ f(x) = \dfrac{-1}{x+3} \]

Respuestas a los problemas coincidentes 1,2,3 y 4


Ejemplo 2

Encuentre el dominio de la función \( f \) definida por \[ f(x) = \sqrt{2x-8} \]

Solución al Ejemplo 2

La expresión que define la función \( f \) contiene una raíz cuadrada. La expresión bajo el radical tiene que satisfacer la condición
\( 2x - 8 \geq 0 \)    para que la función tome valores reales.
Resuelva la desigualdad lineal anterior
\( x \geq 4 \)
El dominio, en notación de intervalo, está dado por
\( [4, +\infty) \)

Problema Coincidente 2

Encuentre el dominio de la función \( f \) definida por: \[ f(x) = \sqrt{-x+9} \]

Ejemplo 3

Encuentre el dominio de la función \( f \) definida por: \[ f(x) = \dfrac{\sqrt{-x}}{(x-3)(x+5)} \] Solución al Ejemplo 3
La expresión que define la función \( f \) contiene una raíz cuadrada. La expresión bajo el radical tiene que satisfacer la condición
\( -x \geq 0 \)
Lo que es equivalente a
\( x \leq 0 \)
El denominador no debe ser cero, por lo tanto \( x \) no es igual a 3 y \( x \) no es igual a -5.
El dominio de \( f \) está dado por
\( (-\infty, -5) \cup (-5, 0] \)

Problema Coincidente 3

Encuentre el dominio de la función \( f \) definida por: \[ f(x) = \dfrac{\sqrt{-x+2}}{(x+1)(x+9)} \]

Ejemplo 4

Encuentre el rango de la función \( f \) definida por: \[ f(x) = x^2 - 2 \]

Solución al Ejemplo 4

El dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales. El rango es el conjunto de valores que \( f(x) \) toma a medida que \( x \) varía. Si \( x \) es un número real, \( x^2 \) es positivo o cero. Por lo tanto, podemos escribir lo siguiente:
\( x^2 \geq 0 \)
Reste -2 a ambos lados para obtener
\( x^2 - 2 \geq -2 \)
La última desigualdad indica que \( x^2 - 2 \) toma todos los valores mayores o iguales a -2. El rango de \( f \) está dado por
\( [-2, +\infty) \)
Una gráfica de \( f \) también ayuda a interpretar el rango de una función. A continuación se muestra la gráfica de la función \( f \) dada anteriormente. Observe que el punto más bajo en la gráfica tiene un valor de \( y (= f(x) ) \) de -2.
Gráfica de la Función del Ejemplo 4

Problema Coincidente 4

Encuentre el rango de la función \( f \) definida por: \[ f(x) = x^2 + 3 \]

Más Enlaces y Referencias

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Solucionador Paso a Paso para Encontrar el Dominio de la Raíz Cuadrada de una Función Lineal, Encontrar el Dominio de la Raíz Cuadrada de una Función Cuadrática y tutoriales y problemas de matemáticas.