Este es un tutorial con soluciones detalladas a problemas relacionados con la ecuación de la elipse. En este sitio web también se incluye un Applet en HTML5 para Explorar Ecuaciones de Elipses.
Una elipse con centro en el origen \( (0,0) \), es la gráfica de
\[ \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \] o \[ \dfrac{x^2}{b^2} + \dfrac{y^2}{a^2} = 1 \]con \(a > b > 0\).
La longitud del eje mayor es \(2a\), y la longitud del eje menor es \(2b\). Los dos focos (focos es el plural de foco) están en \((\pm c , 0)\) o en \((0 , \pm c)\), donde \(c^2 = a^2 - b^2\).
Dada la siguiente ecuación
\(9x^2 + 4y^2 = 36\)
a) Encuentra las intersecciones con los ejes \(x\) e \(y\) de la gráfica de la ecuación.
b) Encuentra las coordenadas de los focos.
c) Encuentra la longitud de los ejes mayor y menor.
d) Dibuja la gráfica de la ecuación.
Solución al Ejemplo 1a) Primero escribimos la ecuación dada en forma estándar dividiendo ambos lados de la ecuación por 36 y simplificamos
\(\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} = 1\)
Ahora identificamos la ecuación obtenida con una de las ecuaciones estándar en el repaso anterior y podemos decir que la ecuación dada es la de una elipse con \(a = 3\) y \(b = 2\). NOTA: \(a > b\)
Establece \(y = 0\) en la ecuación obtenida y encuentra las intersecciones con el eje \(x\).
\(\dfrac{x^2}{2^2} = 1\)
Resuelve para \(x\).
\(x^2 = 2^2\)
\(x = \pm 2\)
Establece \(x = 0\) en la ecuación obtenida y encuentra las intersecciones con el eje \(y\).
\(\dfrac{y^2}{3^2} = 1\)
Resuelve para \(y\).
\(y^2 = 3^2\)
\(y = \pm 3\)
b) Primero necesitamos encontrar \(c\).
\(c^2 = a^2 - b^2\)
a y b se encontraron en la parte a)
\(c^2 = 3^2 - 2^2\)
\(c^2 = 5\)
Resuelve para \(c\) para obtener
\(c = \pm \sqrt{5}\)
Los focos son \(F_1(0 , \sqrt{5})\) y \(F_2(0 , - \sqrt{5})\)
c) La longitud del eje mayor está dada por \(2a = 6\)
La longitud del eje menor está dada por \(2b = 4\)
d) Localiza las intersecciones con los ejes \(x\) e \(y\), encuentra puntos adicionales si es necesario y dibuja.
Problema Emparejado: Dada la siguiente ecuación
\(4x^2 + 9y^2 = 36\)
a) Encuentra las intersecciones con los ejes \(x\) e \(y\) de la gráfica de la ecuación.
b) Encuentra las coordenadas de los focos.
c) Encuentra la longitud de los ejes mayor y menor.
d) Dibuja la gráfica de la ecuación.