Este es un tutorial con soluciones detalladas a problemas relacionados con la ecuación de la elipse. Una aplicación HTML5 para explorar ecuaciones de elipses también está incluida en este sitio web.
Una elipse con centro en el origen \( (0,0) \), es la gráfica de
\[ \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \] o \[ \dfrac{x^2}{b^2} + \dfrac{y^2}{a^2} = 1 \]con \(a > b > 0\).
La longitud del eje mayor es \(2a\), y la longitud del eje menor es \(2b\). Los dos focos (foco es el singular de focos) están en \((\pm c , 0)\) o en \((0 , \pm c)\), donde \(c^2 = a^2 - b^2\).
Dada la siguiente ecuación
\[9x^2 + 4y^2 = 36\]a) Encuentra las intersecciones con los ejes \(x\) y \(y\) de la gráfica de la ecuación.
b) Encuentra las coordenadas de los focos.
c) Encuentra la longitud de los ejes mayor y menor.
d) Traza la gráfica de la ecuación.
Solución al Problema 1a) Primero escribimos la ecuación dada en forma estándar dividiendo ambos lados de la ecuación por 36 y simplificamos
\[ \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} = 1 \]Identificamos la ecuación obtenida con una de las ecuaciones estándar en el repaso anterior y podemos decir que la ecuación dada es la de una elipse con \(a = 3\) y \(b = 2\). NOTA: \(a > b\)
Establecemos \(y = 0\) en la ecuación obtenida y encontramos las intersecciones con el eje \(x\).
\[ \dfrac{x^2}{2^2} = 1 \]Resolvemos para \(x\).
\[ x^2 = 2^2 \] \[ x = \pm 2 \]Establecemos \(x = 0\) en la ecuación obtenida y encontramos las intersecciones con el eje \(y\).
\[ \dfrac{y^2}{3^2} = 1 \]Resolvemos para \(y\).
\[ y^2 = 3^2 \]\(y = \pm 3\)
b) Necesitamos encontrar \(c\) primero.
\[ c^2 = a^2 - b^2 \]a y b fueron encontradas en la parte a)
\[ c^2 = 3^2 - 2^2 \] \[ c^2 = 5 \]Resolvemos para \(c\) para obtener
\[ c = \pm \sqrt{5} \]Los focos son \(F_1(0 , \sqrt{5})\) y \(F_2(0 , - \sqrt{5})\)
c) La longitud del eje mayor está dada por \(2a = 6\)
La longitud del eje menor está dada por \(2b = 4\)
d) Ubica las intersecciones con los ejes \(x\) e \(y\), encuentra puntos adicionales si es necesario y traza.
Problema Similar: Dada la siguiente ecuación
\[ 4x^2 + 9y^2 = 36 \]a) Encuentra las intersecciones con los ejes \(x\) y \(y\) de la gráfica de la ecuación.
b) Encuentra las coordenadas de los focos.
c) Encuentra la longitud de los ejes mayor y menor.
d) Traza la gráfica de la ecuación.