Este es un tutorial sobre cómo encontrar los puntos de intersección de dos elipses dadas por sus ecuaciones.
Encuentra los puntos de intersección de las dos elipses dadas por sus ecuaciones de la siguiente manera: \[ \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{(y + 1)^2}{4} = 1 \] \[ \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{(y + 2)^2}{12} = 1 \]
Solución al Ejemplo 1:
Primero multiplicamos todos los términos de la primera ecuación por \( 16 \) y todos los términos de la segunda ecuación por \( -2 \) y simplificamos para obtener las ecuaciones equivalentes dadas por:
\( x^2 + 4 (y + 1)^2 = 16 \)
\( - x^2 - \dfrac{1}{6} (y + 2)^2 = -2 \)
Ahora sumamos lado a lado las dos ecuaciones para obtener una ecuación cuadrática:
\( 4 (y + 1)^2 - \dfrac{1}{6} (y + 2)^2 = 14 \)
Multiplicamos todos los términos por 6, agrupamos términos semejantes y reescribimos la ecuación como:
\( 23y^2 + 44y - 64 = 0 \)
Resolvemos la ecuación cuadrática para \( y \) y obtenemos dos soluciones:
\( y \approx 0.97 \) y \( y \approx -2.88 \)
Ahora sustituimos los valores de \( y \) ya obtenidos en la ecuación \( x^2 + 4 (y + 1)^2 = 16 \) y resolvemos para \( x \) para obtener los valores de \( x \):
Para \( y \approx 0.97 \); los valores de \( x \) son: \( x \approx 0.730365 \) y \( x \approx -0.730365 \)
Para \( y \approx -2.88 \); los valores de \( x \) son: \( x \approx 1.36788 \) y \( x \approx -1.36788 \)
Los 4 puntos de intersección de las dos elipses son:
\( (0.730365, 0.97) \); \( (-0.73, 0.97) \); \( (1.37, -2.88) \); \( (-1.36788, -2.88) \)
La gráfica de las dos elipses dadas por sus ecuaciones anteriores se muestra a continuación con sus puntos de intersección.