Puntos de Intersección de una Elipse y una Línea
Este es un tutorial sobre cómo encontrar los puntos de intersección de una elipse y una línea dadas por sus ecuaciones.
Ejemplo 1
Encuentra los puntos de intersección de una elipse y una línea dadas por sus ecuaciones de la siguiente manera:
\[ \dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1 \]
\[ y - 2x = -2 \]
Solución al Ejemplo 1:
Primero resolvemos la ecuación de la línea para \( y \) y obtenemos:
\[ y = 2x - 2 \]
Ahora sustituimos \( y \) por \( 2x - 2 \) en la ecuación de la elipse
\[ \dfrac{x^2}{9} + \dfrac{(2x - 2 )^2}{4} = 1 \]
Multiplicamos todos los términos por 36, agrupamos términos semejantes y reescribimos la ecuación como
\[ 40 x^2 - 72 x = 0 \]
Resolvemos la ecuación cuadrática para \( x \) y obtenemos dos soluciones
\( x = 0 \) y \( x = \dfrac{9}{5} \)
Ahora sustituimos los valores de \( x \) obtenidos en la ecuación \( y = 2x - 2 \) y encontramos \( y \)
para \( x = 0 \), \( y = -2 \) y para \( x = \dfrac{9}{5} \), \( y = \dfrac{8}{5} \)
Hay 2 puntos de intersección dados por
\( (0, -2) \) y \( \left(\dfrac{9}{5}, \dfrac{8}{5}\right) \)
Las gráficas de la elipse y la línea dadas por sus ecuaciones anteriores y sus puntos de intersección se muestran a continuación.
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