Resolver Ecuaciones de la Forma Cuadrática

Este tutorial explica cómo resolver ecuaciones que pueden escribirse en forma cuadrática. Se proporcionan ejemplos paso a paso con soluciones detalladas y explicaciones.

Repaso

Una ecuación cuadrática tiene la forma general:

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

con \(a \neq 0\). Hay varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. En este tutorial, usamos la fórmula cuadrática y discriminantes y el método de factorización.

Ejemplos con Soluciones

Ejemplo 1

Encuentra todas las soluciones reales de la ecuación:

\[ x^4 + x^2 - 6 = 0 \]

Solución:

• Dado: \[ x^4 + x^2 - 6 = 0 \]
• Sustitución: Sea \(u = x^2\). Entonces la ecuación se convierte en: \[ u^2 + u - 6 = 0 \]
• Factorización: \[ (u + 3)(u - 2) = 0 \]
• Teorema del factor cero: \[ u + 3 = 0 \quad \text{o} \quad u - 2 = 0 \]
• Resolver para \(u\): \[ u = -3 \quad \text{o} \quad u = 2 \]
• Sustituir nuevamente \(u = x^2\): \[ x^2 = -3 \quad (\text{sin solución real}), \quad x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2} \]

Verificar Soluciones:

1. \(x = \sqrt{2}\): \((\sqrt{2})^4 + (\sqrt{2})^2 - 6 = 4 + 2 - 6 = 0\)
2. \(x = -\sqrt{2}\): \((- \sqrt{2})^4 + (- \sqrt{2})^2 - 6 = 4 + 2 - 6 = 0\)

Conclusión: Las soluciones reales son \(x = \sqrt{2}\) y \(x = -\sqrt{2}\).

Ejercicio Relacionado 1: Encuentra todas las soluciones reales para \[ x^4 - 2x^2 - 3 = 0 \]

Respuesta al Ejercicio Relacionado

Ejemplo 2

Encuentra todas las soluciones reales de la ecuación:

\[ 2x + 3 \sqrt{x} = 5 \]

Solución:

• Dado: \[ 2x + 3 \sqrt{x} = 5 \]
• Sustitución: Sea \(u = \sqrt{x} \ge 0\). Entonces \[ 2u^2 + 3u - 5 = 0 \]
• Discriminante: \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 49 \]
• Fórmula cuadrática: \[ u = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 7}{4} \implies u_1 = 1, \ u_2 = -\frac{5}{2} \]
• Sustituir nuevamente: \[ \sqrt{x} = 1 \implies x = 1, \quad \sqrt{x} = -\frac{5}{2} \ (\text{sin solución real}) \]

Verificar Solución: \(x = 1\) satisface \(2(1) + 3\sqrt{1} = 5\).

Conclusión: La solución real es \(x = 1\).

Ejercicio Relacionado 2: Encuentra todas las soluciones reales para \[ x - 3\sqrt{x} - 4 = 0 \]

Respuesta al Ejercicio Relacionado

Soluciones a los Ejercicios Relacionados

Ejercicio Relacionado 1

Resolver \[ x^4 - 2x^2 - 3 = 0 \]

Sea \(u = x^2\). Entonces \[ u^2 - 2u - 3 = 0 \implies u = -1 \ (\text{sin solución real}), \ u = 3 \implies x = \pm \sqrt{3} \]

Ejercicio Relacionado 2

Resolver \[ x - 3\sqrt{x} - 4 = 0 \]

Sea \(u = \sqrt{x}\). Entonces \[ u^2 - 3u - 4 = 0 \implies u = -1 \ (\text{sin solución real}), \ u = 4 \implies x = 16 \]

Más Referencias y Enlaces

Resolver Ecuaciones, Sistemas de Ecuaciones y Desigualdades