Resuelve problemas de triángulos rectángulos que involucran área, perímetro, hipotenusa, lados y sus relaciones.
Un triángulo rectángulo tiene un ángulo igual a \(90^\circ\).
Área: \(A = \dfrac{1}{2} a \times b\)
Perímetro: \(P = a + b + h\)
Por el teorema de Pitágoras: \(h^2 = a^2 + b^2\) ⇒ \(h = \sqrt{a^2 + b^2}\)
Perímetro en términos solo de los lados: \(P = a + b + \sqrt{a^2 + b^2}\)
Encuentra el área y el perímetro de un triángulo rectángulo con lados \(0.4\) ft y \(0.3\) ft.
Encuentra el área y el perímetro de un triángulo rectángulo isósceles con hipotenusa \(50\) cm.
El primer lado de un triángulo rectángulo es \(200\) m más largo que el segundo lado. La hipotenusa mide \(1000\) m. Encuentra las longitudes de ambos lados, el área y el perímetro.
Un triángulo rectángulo tiene un lado que es \(\dfrac{4}{3}\) del otro. La hipotenusa mide \(30\) ft. Encuentra los lados, el área y el perímetro.
El triángulo \(ABC\) es un triángulo rectángulo con perímetro \(60\) unidades y área \(150\) unidades\(^2\). Encuentra sus dos lados y su hipotenusa.
Los triángulos rectángulos \(ABC\) y \(DEF\) tienen \(\angle ACB = \angle DFE\). La razón de las hipotenusas es \(AC/DF = 3/2\). El área de \(\triangle DEF\) es \(100\) unidades\(^2\). ¿Cuál es el área de \(\triangle ABC\)?
Sea \(a = 0.4\) ft, \(b = 0.3\) ft.
Área: \(A = \dfrac{1}{2} \times 0.4 \times 0.3 = 0.06\) ft\(^2\)
Hipotenusa: \(h = \sqrt{0.4^2 + 0.3^2} = \sqrt{0.16 + 0.09} = \sqrt{0.25} = 0.5\) ft
Perímetro: \(P = 0.4 + 0.3 + 0.5 = 1.2\) ft
Para un triángulo rectángulo isósceles, \(a = b\).
Teorema de Pitágoras: \(a^2 + a^2 = 50^2\) ⇒ \(2a^2 = 2500\) ⇒ \(a^2 = 1250\)
Área: \(A = \dfrac{1}{2} a^2 = \dfrac{1}{2} \times 1250 = 625\) cm\(^2\)
Perímetro: \(P = 2a + 50 = 2\sqrt{1250} + 50 = 50\sqrt{2} + 50 = 50(\sqrt{2} + 1) \approx 120.7\) cm
Sea segundo lado = \(x\) m ⇒ primer lado = \(x + 200\) m, hipotenusa = \(1000\) m.
Por el teorema de Pitágoras: \(x^2 + (x + 200)^2 = 1000^2\)
Expandir: \(x^2 + x^2 + 400x + 40000 = 1000000\)
Simplificar: \(2x^2 + 400x - 960000 = 0\)
Dividir por 2: \(x^2 + 200x - 480000 = 0\)
Resolver ecuación cuadrática: \(x = \dfrac{-200 \pm \sqrt{200^2 + 4 \times 480000}}{2} = \dfrac{-200 \pm \sqrt{1960000}}{2} = \dfrac{-200 \pm 1400}{2}\)
Solución positiva: \(x = \dfrac{-200 + 1400}{2} = 600\) m
Primer lado: \(600 + 200 = 800\) m
Área: \(A = \dfrac{1}{2} \times 600 \times 800 = 240000\) m\(^2\)
Perímetro: \(P = 600 + 800 + 1000 = 2400\) m
Sea segundo lado = \(x\) ft ⇒ primer lado = \(\dfrac{4}{3}x\) ft, hipotenusa = \(30\) ft.
Teorema de Pitágoras: \(x^2 + \left(\dfrac{4}{3}x\right)^2 = 30^2\)
Simplificar: \(x^2 + \dfrac{16}{9}x^2 = 900\) ⇒ \(\dfrac{25}{9}x^2 = 900\)
Resolver: \(x^2 = \dfrac{900 \times 9}{25} = 324\) ⇒ \(x = \sqrt{324} = 18\) ft
Primer lado: \(\dfrac{4}{3} \times 18 = 24\) ft
Área: \(A = \dfrac{1}{2} \times 18 \times 24 = 216\) ft\(^2\)
Perímetro: \(P = 18 + 24 + 30 = 72\) ft
Dado: \(a + b + h = 60\), \(\dfrac{1}{2}ab = 150\), y \(a^2 + b^2 = h^2\).
Del área: \(ab = 300\)
Del perímetro: \(a + b = 60 - h\)
Elevar al cuadrado ambos lados: \((a + b)^2 = (60 - h)^2\) ⇒ \(a^2 + 2ab + b^2 = 3600 - 120h + h^2\)
Sustituir \(a^2 + b^2 = h^2\) y \(ab = 300\): \(h^2 + 600 = 3600 - 120h + h^2\)
Simplificar: \(600 = 3600 - 120h\) ⇒ \(120h = 3000\) ⇒ \(h = 25\)
Entonces \(a + b = 60 - 25 = 35\) y \(ab = 300\)
Resolver ecuación cuadrática: \(t^2 - 35t + 300 = 0\) ⇒ \((t - 15)(t - 20) = 0\)
Lados: \(a = 15\), \(b = 20\) (o viceversa)
Hipotenusa: \(h = 25\) (verificado por el teorema de Pitágoras: \(15^2 + 20^2 = 625 = 25^2\))
Los triángulos son semejantes (semejanza AA: ángulos rectos y \(\angle ACB = \angle DFE\)).
Razón de lados correspondientes: \(\dfrac{AC}{DF} = \dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF} = \dfrac{3}{2}\)
La razón de áreas es el cuadrado de la razón de lados: \(\dfrac{A_{ABC}}{A_{DEF}} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}\)
Por lo tanto: \(A_{ABC} = \dfrac{9}{4} \times 100 = 225\) unidades\(^2\)