Aprende sobre triángulos semejantes a través de definiciones, teoremas, ejemplos resueltos y problemas de práctica con soluciones detalladas paso a paso.
Dos triángulos \( \triangle ABC \) y \( \triangle A'B'C' \) son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados correspondientes son proporcionales:
\[ \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'} \]
Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos de otro triángulo, los triángulos son semejantes.
Ejemplo 1:
Sea \( \triangle ABC \) un triángulo y \( \overline{A'C'} \) paralelo a \( \overline{AC} \). ¿Qué puedes decir acerca de \( \triangle ABC \) y \( \triangle A'BC' \)?
Si los lados correspondientes de dos triángulos son proporcionales, los triángulos son semejantes.
Ejemplo 2:
Dados los vértices \( A(-2,0), B(0,4), C(2,0) \) y \( P(-1,1), Q(0,3), R(1,1) \), demuestra que \( \triangle ABC \sim \triangle PQR \).
Si un ángulo de un triángulo es congruente con un ángulo de otro triángulo, y los lados que lo incluyen son proporcionales, los triángulos son semejantes.
Ejemplo 3:
Demuestra que \( \triangle ABC \sim \triangle A'BC' \).
Problema 1:
En el diagrama, \( \overline{A'C'} \parallel \overline{AC} \). Encuentra la longitud \( y = BC' \) y \( x = A'A \).
Problema 2:
Una fuente de luz en \( L \) (altura 2 m) brilla a través de la cima del poste \( P' \) hasta la cima de la montaña \( M' \). Altura del poste = 20 m. Distancia montaña-poste = 1000 m, poste-láser = 10 m. Encuentra la altura \( h \) de la montaña.
Problema 3:
Dado \( \triangle ABC \sim \triangle A'B'C' \) con razón \( k \), encuentra la razón \( \frac{BH}{B'H'} \) de sus alturas.
Problema 4:
Las cuerdas \( \overline{BA'} \) y \( \overline{AB'} \) se intersectan en \( C \). Encuentra una relación entre los segmentos \( AC, BC, B'C, A'C \).
Problema 5:
En el triángulo rectángulo \( \triangle ABC \), \( \overline{AM} \perp \overline{BC} \). ¿Cuántos triángulos semejantes hay?
Dado que \( \overline{A'C'} \parallel \overline{AC} \):
\( \angle BA'C' \cong \angle BAC \) (ángulos correspondientes)
\( \angle BC'A' \cong \angle BCA \) (ángulos correspondientes)
Por el criterio AA de semejanza, \( \triangle ABC \sim \triangle A'BC' \).
Calcula las longitudes de los lados:
\( AB = \sqrt{(0+2)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4 + 16} = 2\sqrt{5} \)
\( BC = \sqrt{(2-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = 2\sqrt{5} \)
\( CA = \sqrt{(-2-2)^2 + (0-0)^2} = 4 \)
\( PQ = \sqrt{(0+1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \)
\( QR = \sqrt{(1-0)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \)
\( RP = \sqrt{(-1-1)^2 + (1-1)^2} = 2 \)
Razones: \( \frac{AB}{PQ} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 2 \), \( \frac{BC}{QR} = 2 \), \( \frac{CA}{RP} = 2 \)
Dado que \( \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{CA}{RP} \), por el criterio LLL de semejanza \( \triangle ABC \sim \triangle PQR \).
\( \angle ABC \cong \angle A'BC' \) (dado)
Verifica los lados que incluyen el ángulo: \( \frac{BA}{BA'} = \frac{10}{4} = 2.5 \), \( \frac{BC}{BC'} = \frac{5}{2} = 2.5 \)
Dado que las razones son iguales y los ángulos incluidos son congruentes, por el criterio LAL de semejanza \( \triangle ABC \sim \triangle A'BC' \).
Separa los triángulos: \( \triangle ABC \) y \( \triangle A'BC' \)
Dado que \( \overline{A'C'} \parallel \overline{AC} \), los triángulos son semejantes (AA).
Establece las proporciones: \( \frac{30 + x}{30} = \frac{22}{14} = \frac{y + 15}{y} \)
Resuelve para \( x \): \( \frac{30 + x}{30} = \frac{22}{14} \Rightarrow 14(30 + x) = 660 \)
\( 420 + 14x = 660 \Rightarrow 14x = 240 \Rightarrow x \approx 17.1 \)
Resuelve para \( y \): \( \frac{22}{14} = \frac{y + 15}{y} \Rightarrow 22y = 14y + 210 \)
\( 8y = 210 \Rightarrow y = 26.25 \)
Los triángulos \( \triangle LPP' \) y \( \triangle LMM' \) son semejantes (AA).
Proporciones: \( \frac{LM}{LP} = \frac{MM'}{PP'} \Rightarrow \frac{1000 + 10}{10} = \frac{h - 2}{20 - 2} \)
\( \frac{1010}{10} = \frac{h - 2}{18} \Rightarrow 101 = \frac{h - 2}{18} \)
\( h - 2 = 1818 \Rightarrow h = 1820 \text{ metros} \).
Dado que los triángulos son semejantes, \( \angle B \cong \angle B' \) y \( \angle BAH \cong \angle B'A'H' \).
Los triángulos rectángulos \( \triangle BHA \) y \( \triangle B'H'A' \) son semejantes (AA).
Por lo tanto: \( \frac{BH}{B'H'} = \frac{AB}{A'B'} = k \).
Une \( \overline{BA} \) y \( \overline{B'A'} \).
\( \angle ABA' \cong \angle AB'A' \) (subtienden el mismo arco)
\( \angle BAB' \cong \angle BA'B' \) (subtienden el mismo arco)
Así que \( \triangle ABC \sim \triangle A'B'C \) (AA).
Proporciones: \( \frac{BC}{B'C} = \frac{CA}{CA'} \)
Multiplica en cruz: \( BC \cdot CA' = B'C \cdot CA \).
Tres triángulos semejantes:
1. \( \triangle ABC \sim \triangle MBA \) (AA: ángulo recto y \( \angle B \))
2. \( \triangle ABC \sim \triangle MAC \) (AA: ángulo recto y \( \angle C \))
3. En consecuencia, \( \triangle MBA \sim \triangle MAC \).
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