Considera el círculo, la secante \( A B \) y la tangente \( OT\) en la siguiente figura.
El teorema de la secante y la tangente que se intersecan [1] establece que para la secante \( A B \) y la tangente \( O T \), existe una relación entre las longitudes de los segmentos de la siguiente manera: \[ OT^2 = OA \times OB \]
Nota que ninguna de las figuras a continuación está dibujada a escala.
Pregunta 1
En la siguiente figura, \( OC \) es tangente al círculo. Encuentra \( x = AB\), dadas las longitudes de los segmentos \( OC = 42 \) y \( OA = 21\).
Solución
Aplica el teorema de la secante y la tangente que se intersecan a la secante \( OB \) y la tangente \( OC \) para escribir: \( \quad OC^2 = OA \times OB \)
Sustituye las cantidades conocidas y dadas: \( \quad 42^2 = 21 \times (21 + x) \)
Expande y simplifica: \( \quad 1323 = 21 x \)
Resuelve para \( x \): \( \quad x = 63\)
Pregunta 2
En la siguiente figura, \( OC \) es tangente al círculo. Encuentra \( a \) dadas las longitudes de los segmentos \( OC = a - 1 , OA = a - 4, AB = a \).
Solución
\( OB \) es secante y \( OC \) es tangente, por lo tanto el teorema de la secante y la tangente que se intersecan da: \( \quad OC^2 = OA \times OB \)
Sustituye las cantidades dadas: \( \quad (a-1)^2 = (a-4)(a-4+a) \)
Expande y agrupa términos semejantes: \( \quad a^2 - 2a + 1 = 2a^2-12a+16 \)
Reescribe la ecuación cuadrática anterior en forma estándar como: \( a^2-10a+15 = 0 \)
Resuelve para \( a \) para obtener dos soluciones: \( a=5 + \sqrt{10} \) y \( a = 5 - \sqrt{10} \)
Nota La longitud de un segmento debe ser positiva. Por lo tanto, \( a = 5 - \sqrt{10} \) no puede aceptarse como solución porque \( OA = a - 4 = 5 - \sqrt{10} - 4 = 1-\sqrt{10} \) es negativo.
\( a = 5 + \sqrt{10} \) es la única solución a la pregunta dada.
Pregunta 3
En la siguiente figura, \( OC \) es tangente al círculo y \( OE \) interseca al círculo en el punto \( D \) donde \( E \) es el centro del círculo. Las longitudes de los segmentos \( OC \) y \( OD \) están dadas por \( OD = 6 \) y \( OC = r + 3 \) donde \( r \) es la longitud del radio del círculo.
1) Encuentra \( r \)
2) Encuentra las longitudes de los segmentos \( OA \) y \( AB \) tal que \( AB = 2 OA \)
Solución
1) Dado que \( OC \) es tangente al círculo y \( E \) es el centro, entonces \( EC \) es un radio y es perpendicular a \( OC \).
Usa el teorema de Pitágoras para escribir: \( \quad (OD + DE)^2 = EC^2 + OC^2 \)
Observa que \( DE \) es un radio y sustituye con
las cantidades dadas: \( \quad (6+r)^2 = r^2 + (r+3)^2 \)
Expande y escribe la ecuación anterior en forma estándar: \( \quad -r^2+6r+27 = 0 \)
Resuelve para \( r \) para obtener dos soluciones: \( r = -3 \) y \( r = 9 \);
solo la solución \( r = 9 \) es válida ya que la longitud del radio es una cantidad positiva.
2) El uso del teorema de la secante y la tangente que se intersecan da: \( \quad OC^2 = OA \times OB \)
Sustituye las cantidades
conocidas y desconocidas: \( \quad (9 + 3)^2 = OA \times (O A + 2 O A) \)
Lo anterior puede escribirse como \( \quad (15)^2 = 3 OA^2 \)
Resuelve para \( OA \): \( \quad OA = \dfrac{15}{\sqrt 3} \), \( AB = 2 \dfrac{15}{\sqrt 3} \)