El teorema de la secante intersecante [1] establece que para las dos secantes \( A B \) y \( C D \) que se intersecan en un círculo, existe una relación entre las longitudes de los segmentos de la siguiente manera: \[ OA \times OB = OC \times OD \]
Considera el círculo y las secantes \( A B \) y \( C D \) tales que cada una corta al círculo en dos puntos.
El teorema de la secante intersecante [1] establece que para las dos secantes \( A B \) y \( C D \) que se intersecan en un círculo, existe una relación entre las longitudes de los segmentos de la siguiente manera: \[ OA \times OB = OC \times OD \]
Pregunta 1
Dadas las longitudes de los segmentos: \( OA = 3 , OC = 2\) y \( CB = 10 \), Encuentra \( x = AD\) en la figura de abajo.
Solución
Aplica el teorema de la secante intersecante anterior a la secante \( OD \) y \( OB \) para escribir: \( \quad OA \times OD = OC \times OB \)
Sustituye las cantidades conocidas y dadas: \( \quad 3 \times (3+x) = 2 \times (2+10) \)
Expande y simplifica: \( \quad 9 + 3 x = 24 \)
Resuelve para \( x \): \( \quad x = \dfrac{24-9}{3} = 5\)
Pregunta 2
Dadas las longitudes de los segmentos \( OA = x , OC = 3, CD = 13 \) y \( AB = 2x \), encuentra \( x \).
Solución
Aplica el teorema de la secante intersecante a \( OB \) y \( OD \) para escribir: \( \quad OA \times OB = OC \times OD \)
Sustituye las cantidades dadas: \( \quad x \times (x + 2x) = 3 \times (3+13) \)
Expande y agrupa términos semejantes: \( \quad 3 x^2 = 48 \)
Divide ambos lados por \( 3 \) y reescribe la ecuación anterior como: \( x^2 = 16 \)
Resuelve para \( x \): \( \quad x = \pm 4 \)
\( x \) debe ser positivo porque las longitudes de los segmentos son positivas, por lo tanto la solución a la pregunta dada es: \( x = 4 \)
Pregunta 3
En la figura de abajo, \( OB \) y \( OD \) son secantes al círculo tales que \( OD \) pasa por el centro \( G \) del círculo y \( OA = 4, AB = 10 \) y \( OC = 3 \). Encuentra la longitud del radio del círculo.
Solución
Dado que \( G \) es el centro del círculo, \( CD \) es un diámetro y \( CD = 2 r \) donde \( r \) es la longitud del radio.
Aplica el teorema de la secante intersecante a \( OB \) y \( OD \) para escribir: \( \quad OA \times OB = OC \times OD \)
Sustituye las cantidades conocidas y desconocidas: \( \quad 4 \times (4 + 10) = 3 \times (3+2r) \)
Expande: \( \quad 56 = 9+6r \)
Agrupa y resuelve para \( r \): \( \quad r = \dfrac{47}{6} \)
Pregunta 4
En la figura de abajo, \( OB \) y \( OD \) son secantes al círculo. Encuentra la relación entre \( x \) y \( y \) de la forma \( a x + b y = c \) tal que en la figura de abajo, \( OC = 45 , OA = 42, CD = y \) y \( AB = x \).
Solución
Aplica el teorema de la secante intersecante a \( OB \) y \( OD \) para escribir: \( \quad OA \times OB = OC \times OD \)
Sustituye las cantidades conocidas: \( \quad 42 \times (42 + x) = 45 \times (45 + y) \)
Expande: \( \quad 1764 + 42 x = 2025 + 45y \)
La ecuación anterior puede escribirse como: \( \quad 42 x - 45 y = 261 \)