Calculadora de cobertura terrestre por satélites

Se presenta una calculadora en línea para calcular el porcentaje del área de la Tierra (supuestamente una esfera) cubierta por un satélite, dada su altitud y ángulo de elevación.

Cobertura de la Tierra por satélite

En la figura siguiente, un satélite en el punto \( S \), en órbita alrededor de la Tierra, solo puede cubrir una parte de la Tierra que tiene forma de casquete esférico.

Relación \( f \) entre el área de superficie de un casquete esférico y la superficie de la Tierra

La siguiente figura muestra una representación bidimensional de un satélite a una altitud \( H \) sobre la superficie de la tierra. \( \theta \) es el ángulo de cobertura y \( \gamma \) es el ángulo de elevación del satélite, medido con respecto a la tangente a la tierra.
El área del casquete esférico está dada por
\[ \displaystyle \text{A}_{cap} = 2\pi R h \]
La relación \( f \) entre \( \displaystyle \text{A}_{cap} \) y el área total de la Tierra está dada por
\[ f = \dfrac{2\pi R h}{4 \pi R^2} = \dfrac{1}{2} \dfrac{h}{R} \]
donde \( R \approx 6378 \) km es el radio de la Tierra y \( h \) es la altura del casquete esférico (en rojo).
\( \quad \cos(\alpha) = \dfrac{\overline{OD}}{\overline{OA}} = \dfrac{R-h}{R} = 1 - \dfrac{h}{R} \)
por eso
\( \quad \dfrac{h}{R} = 1 - \cos(\alpha) \)
Sustituya \( \dfrac{h}{R} \) en la fórmula por \( f \) anterior para obtener
\[ f = \dfrac{1}{2} (1 - \cos(\alpha)) \quad \quad (I)\]
Ahora necesitamos encontrar \( \alpha \)
\( \quad \alpha + \gamma + \theta + 90^{\circ} = 180^{\circ} \)
Usa la ley del seno en el triángulo \( OEA \) para escribir
\( \quad \dfrac{\sin(\gamma+90^{\circ})}{ \overline{OS} } = \dfrac{\sin(\theta)}{ \overline{OA}} \quad \quad (II)\)
Tenga en cuenta que
\( \quad \sin(\gamma+90^{\circ}) = \cos(\gamma) \)
\( \quad \theta = 90^{\circ}-\alpha - \gamma \)
\( \quad \sin(\theta) = \sin(90^{\circ}-\alpha - \gamma ) = \cos(\alpha + \gamma) \)
\( \quad \overline{OS} = H + R \)
\( \quad \overline{OA} = R \)
Sustituye en la ecuación (II) y reescríbela como
\( \quad \dfrac{\cos(\gamma)}{ H+R } = \dfrac{\cos(\alpha + \gamma)}{ \overline{R}} \)
Utilice el producto cruzado para obtener
\( \quad \cos(\alpha + \gamma) = \dfrac{R}{H+R} \cos(\gamma) \)
Toma \( arccos \) de ambos lados
\( \quad \alpha + \gamma = \arccos (\dfrac{R}{H+R} \cos(\gamma)) \)
\[ \alpha = \arccos (\dfrac{R}{H+R} \cos(\gamma)) - \gamma \quad \quad (III) \]

Esta calculadora utiliza las fórmulas \( I \) y \( III \) para calcular el porcentaje \( f \) del área de la Tierra cubierta por el satélite a una altitud \( H \) y un ángulo de elevación \( \gamma \)

Cómo utilizar la calculadora

Ingrese la altitud \( H \) del satélite como un número real positivo. Ingrese el ángulo de elevación \( \gamma \) cuyo valor esté en el rango \( (0,90^{\circ}) \) y presione "calcular".
El resultado es el porcentaje del área de la superficie de la Tierra que está cubierta por el satélite.

Resultados

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