Gráfica, Dominio y Rango de Funciones de Valor Absoluto

Este es un tutorial paso a paso sobre cómo graficar funciones con valor absoluto. También se analizan las propiedades de la gráfica de estas funciones, como el dominio, el rango y los interceptos con los ejes \(x\) y \(y\). Hay papel milimetrado gratuito disponible.

Gráfica, Dominio y Rango de Funciones de Valor Absoluto; Ejemplos con Soluciones Detalladas

Ejemplo 1:

\( f \) es una función dada por

\[ f(x) = |x - 2| \]

Encuentra los interceptos con los ejes \(x\) y \(y\) de la gráfica de \( f \).
Encuentra el dominio y el rango de \( f \).
Realiza un bosquejo de la gráfica de \( f \).

Solución del Ejemplo 1

a) El intercepto con el eje \(y\) está dado por \[ (0 , f(0)) = (0 , |-2|) = (0 , 2) \]
La coordenada \(x\) del intercepto con el eje \(x\) se obtiene resolviendo la ecuación \[ |x - 2| = 0 \] cuyo resultado es \[ x = 2 \]
El intercepto con el eje \(x\) es el punto \( (2 , 0) \).
b) El dominio de \( f \) es el conjunto de todos los números reales.
Como \( |x - 2| \) es siempre positivo o cero (cuando \( x = 2 \)), el rango de \( f \) está dado por el intervalo \[ [0 , +\infty) \]
c) Para bosquejar la gráfica de \( f(x) = |x - 2| \), primero graficamos \( y = x - 2 \) y luego tomamos el valor absoluto de \( y \).
La gráfica de \( y = x - 2 \) es una recta con intercepto en \(x\) en \( (2 , 0) \) e intercepto en \(y\) en \( (0 , -2) \).

gráfica de y = x - 2

Usamos la definición de valor absoluto:
Si \( y \ge 0 \), entonces \( |y| = y \); si \( y < 0 \), entonces \( |y| = -y \).
Para los valores de \(x\) donde \(y\) es positivo, la gráfica de \( |y| \) coincide con la de \( y = x - 2 \). Para los valores de \(x\) donde \(y\) es negativo, la gráfica de \( |y| \) es el reflejo respecto al eje \(x\).

gráfica de f(x) = |x - 2|

Verifica que el rango es \( [0 , +\infty) \), el dominio es el conjunto de todos los números reales, el intercepto con el eje \(y\) es \( (0 , 2) \) y el intercepto con el eje \(x\) es \( (2 , 0) \).

Ejemplo 2:

\( f \) es una función dada por

\[ f(x) = |(x - 2)^2 - 4| \]

Encuentra los interceptos con los ejes \(x\) y \(y\).
Encuentra el dominio y el rango de \( f \).
Realiza un bosquejo de la gráfica de \( f \).

Solución del Ejemplo 2

a) El intercepto con el eje \(y\) está dado por \[ (0 , f(0)) = (0 , (-2)^2 - 4) = (0 , 0) \]
Los interceptos con el eje \(x\) se obtienen resolviendo \[ |(x - 2)^2 - 4| = 0 \] lo cual da \[ (x - 2)^2 = 4 \] y las soluciones son \[ x = 0 \quad \text{y} \quad x = 4 \]
Los interceptos con el eje \(x\) son los puntos \( (0 , 0) \) y \( (4 , 0) \).
b) El dominio de \( f \) es el conjunto de todos los números reales.
El rango está dado por \[ [0 , +\infty) \]
c) Para bosquejar la gráfica de \( f(x) = |(x - 2)^2 - 4| \), primero graficamos \( y = (x - 2)^2 - 4 \) y luego reflejamos la parte negativa sobre el eje \(x\).

gráfica de y = (x - 2)^2 - 4

gráfica de y = |(x - 2)^2 - 4|