Cómo Graficar Funciones Raíz Cuadrada
Un tutorial paso a paso para graficar y esbozar
funciones raíz cuadrada.
Se analizan la gráfica, el
dominio y el rango,
y en algunos casos las simplificaciones y otras propiedades de estas funciones.
Repaso
El dominio de la función \( f \) definida por \( f(x) = \sqrt{x} \) es el conjunto de todos los números reales positivos y el cero, ya que la raíz cuadrada de números negativos no es un número real
(por ejemplo, \( \sqrt{-4} \), ¿es real?).
En forma de desigualdad, el dominio de \( f(x) = \sqrt{x} \) se escribe como
\[
x \ge 0
\]
En forma de intervalo, el dominio es
\[
[0, +\infty)
\]
Ejemplo 1
Construye una tabla de valores de la función \( f \), grafícala y encuentra su rango.
\[
f(x) = \sqrt{x}
\]
Solución del Ejemplo 1
Como el dominio de \( f \) es el conjunto de todos los números reales positivos y el cero, podemos construir la siguiente tabla de valores:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\mathbf{x} & 0 & 1 & 4 & 9 & 16 \\
\hline
\sqrt{x} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
\end{array}
\]
Los valores de \( x \) se eligieron de manera que sus raíces cuadradas fueran números enteros, lo que facilita la representación gráfica.
El rango de \( f \) está dado por el intervalo
\[
[0, +\infty)
\]
Ejemplo 2
Encuentra el dominio, construye una tabla de valores, grafica la función y determina su rango.
\[
f(x) = \sqrt{x - 3}
\]
Solución del Ejemplo 2
Primero encontramos el dominio observando que la expresión dentro de la raíz cuadrada debe ser mayor o igual que cero:
\[
x - 3 \ge 0
\]
Resolviendo la desigualdad obtenemos
\[
x \ge 3
\]
Seleccionamos valores de \( x \) dentro del dominio para construir la tabla:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x & 3 & 4 & 7 & 12 \\
\hline
\sqrt{x - 3} & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
\end{array}
\]
El intervalo \( [0, +\infty) \) representa el rango de \( f \).
Ejemplo 3
Encuentra el dominio, construye una tabla de valores, grafica la función y determina su rango.
\[
f(x) = -\sqrt{-2x + 4} + 1
\]
Solución del Ejemplo 3
El dominio se obtiene resolviendo
\[
-2x + 4 \ge 0
\]
lo cual da como resultado
\[
x \le 2
\]
Construimos la tabla de valores:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & 2 & \frac{3}{2} & 0 & -\frac{5}{2} & -6 \\
\hline
-\sqrt{-2x + 4} + 1 & 1 & 0 & -1 & -2 & -3 \\
\hline
\end{array}
\]
El rango de \( f \) es
\[
(-\infty, 1]
\]