Encontrar los Puntos de Intersección de Dos Hipérbolas

Este es un tutorial sobre cómo encontrar los puntos de intersección de dos hipérbolas dadas por sus ecuaciones.

Ejemplo 1

Encuentra los puntos de intersección de las dos hipérbolas dadas por sus ecuaciones de la siguiente manera:

\[ \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{16} = 1 \]

\[ \frac{(x - 1)^2}{2} - \frac{y^2}{4} = 1 \]

Primero multiplicamos todos los términos de la primera ecuación por 16 y todos los términos de la segunda ecuación por -4 para obtener ecuaciones equivalentes: \[ 4x^2 - y^2 = 16 \] \[ -2(x - 1)^2 + y^2 = -4 \]
Ahora sumamos los mismos lados de las dos ecuaciones para obtener una ecuación cuadrática \[ 4x^2 - 2(x - 1)^2 = 12 \]
Expandimos y agrupamos términos semejantes y reescribimos la ecuación como \[ 2x^2 + 4x - 14 = 0 \]
Resolvemos la ecuación cuadrática para \(x\) para obtener dos soluciones \[ x \approx 1.83 \quad \text{y} \quad x \approx -3.83 \]
Ahora sustituimos los valores de \(x\) ya obtenidos en la ecuación \(\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{16} = 1\) y la resolvemos para \(y\) para obtener los valores de \(y\) \[ \text{Para } x \approx 1.83 \text{; hay soluciones reales para la ecuación } \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{16} = 1 \] \[ \text{Para } x \approx -3.83 \text{; } y \approx 6.53 \quad \text{y} \quad y \approx -6.53 \]
Los 2 puntos de intersección de las dos hipérbolas son \[ (-3.83, 6.53) \quad ; \quad (-3.83, -6.53) \]

A continuación se muestra la gráfica de dos hipérbolas y sus puntos de intersección.

Puntos de intersección de dos hipérbolas