Puntos de Intersección de una Hipérbola y una Recta
Este tutorial explica cómo encontrar los puntos de intersección de una
hipérbola
y una
recta
dadas por sus ecuaciones.
Ejemplo 1
Encuentra los puntos de intersección de una hipérbola y una recta dadas por las ecuaciones:
\[
\frac{x^2}{9} - y^2 = 1
\]
\[
x + 5y = 3
\]
Solución
-
Resuelve la ecuación de la recta para \(x\):
\[
x = 3 - 5y
\]
-
Sustituye \(x = 3 - 5y\) en la ecuación de la hipérbola:
\[
\frac{(3 - 5y)^2}{9} - y^2 = 1
\]
-
Expande y simplifica:
\[
\frac{9 - 30y + 25y^2}{9} - y^2 = 1
\]
que se simplifica a
\[
16y^2 - 30y = 0
\]
-
Resuelve la ecuación cuadrática:
\[
16y^2 - 30y = 0
\]
\[
y(16y - 30) = 0
\]
dando las dos soluciones
\[
y = 0 \quad \text{y} \quad y = \frac{15}{8}
\]
-
Sustituye estos valores en \(x = 3 - 5y\):
-
Para \(y = 0\):
\[
x = 3
\]
-
Para \(y = \frac{15}{8}\):
\[
x = 3 - 5\left(\frac{15}{8}\right) = -\frac{51}{8}
\]
-
Por lo tanto, los puntos de intersección son:
\[
(3,\,0) \quad \text{y} \quad \left(-\frac{51}{8},\,\frac{15}{8}\right)
\]
La gráfica a continuación muestra la hipérbola, la recta y sus puntos de intersección.
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