Preguntas sobre Desigualdades Polinómicas y Racionales con Soluciones

Explora una variedad de preguntas de opción múltiple enfocadas en desigualdades polinómicas y racionales, completas con soluciones detalladas y explicaciones paso a paso para ayudar a profundizar tu comprensión. Si eres nuevo en el tema o deseas repasar, considera comenzar con este completo tutorial sobre desigualdades antes de abordar los problemas.

Pregunta 1

Resuelve la desigualdad \[ -(x + 2) + 2x > 2(x - 3) + 3x \]

  1. \(\text{Sin soluciones}\)
  2. \((-\infty, \dfrac{4}{5})\)
  3. \((\dfrac{4}{5}, +\infty)\)
  4. \((-\infty, +\infty)\)
  5. \((-\infty, 1)\)

Solución:

  • Desigualdad dada:
    \[-(x + 2) + 2x > 2(x - 3) + 3x\]
  • Expande ambos lados:
    Lado izquierdo:
    \[-(x + 2) + 2x = -x - 2 + 2x = x - 2\]
    Lado derecho:
    \[2(x - 3) + 3x = 2x - 6 + 3x = 5x - 6\]
  • Desigualdad simplificada:
    \[x - 2 > 5x - 6\]
  • Mueve variables y constantes:
    \[x - 5x - 2 > -6\]
    \[-4x - 2 > -6\]
    \[-4x > -4\]
  • Divide ambos lados por \(-4\), e invierte el signo de la desigualdad:
    \[x < \dfrac{-4}{-4} = 1\]
  • Respuesta final en notación de intervalos:
    \[\boxed{(-\infty, 1)}\]

Pregunta 2

Resuelve la desigualdad polinómica \[ (6x + 2) (10 - 20x) \ge 0 \]

  1. \( \left( -\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{2} \right) \)
  2. \( \left[ -\dfrac{1}{2}, +\infty \right) \)
  3. \( \text{Sin soluciones} \)
  4. \( \left( -\infty, 0 \right] \)
  5. \( \left[ -\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{2} \right] \)

Solución:

  • Desigualdad dada:
    \[(6x + 2)(10 - 20x) \ge 0\]
  • Encuentra las raíces (ceros) de la expresión:
    Iguala cada factor a cero:
    \[ 6x + 2 = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{1}{3} \]
    \[ 10 - 20x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{1}{2} \]
  • La expresión cambia de signo en los puntos críticos:
    \[x = -\dfrac{1}{3}, \quad x = \dfrac{1}{2}\]
  • Prueba el signo de la expresión en cada intervalo:
    • Intervalo: \(x < -\dfrac{1}{3}\), por ejemplo, \(x = -1\)
      \((6(-1) + 2)(10 - 20(-1)) = (-6 + 2)(10 + 20) = (-4)(30) = -120\) ? negativo
    • Intervalo: \(-\dfrac{1}{3} < x < \dfrac{1}{2}\), por ejemplo, \(x = 0\)
      \((6(0) + 2)(10 - 20(0)) = (2)(10) = 20\) ? positivo
    • Intervalo: \(x > \dfrac{1}{2}\), por ejemplo, \(x = 1\)
      \((6(1) + 2)(10 - 20(1)) = (6 + 2)(-10) = (8)(-10) = -80\) ? negativo
  • Incluye los puntos finales debido a "=" (mayor o igual que):
    \[ (6x + 2)(10 - 20x) \ge 0 \Rightarrow x \in \left[-\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{2}\right] \]
  • Respuesta final en notación de intervalos:
    \[\boxed{\left[-\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{2}\right]}\]

Pregunta 3

Resuelve la desigualdad: \[ x^2 + 3x - 4 > 0 \]

  1. \( (-4, 1) \)
  2. \( (-\infty, -4) \cup (1, +\infty) \)
  3. \( (1, +\infty) \)
  4. \( \text{Sin soluciones} \)
  5. \( (-\infty, -4] \cup [1, +\infty) \)

Solución:

  • Desigualdad dada:
    \[x^2 + 3x - 4 > 0\]
  • Factoriza la expresión cuadrática:
    \[x^2 + 3x - 4 = (x + 4)(x - 1)\]
  • Reescribe la desigualdad:
    \[(x + 4)(x - 1) > 0\]
  • Encuentra los puntos críticos igualando cada factor a 0:
    \[x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4\]
    \[x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\]
  • Prueba el signo de la expresión en cada intervalo definido por los puntos críticos:
    • Intervalo \((-\infty, -4)\): elige \(x = -5\)
      \[(x + 4)(x - 1) = (-1)(-6) = 6 > 0\]
    • Intervalo \((-4, 1)\): elige \(x = 0\)
      \[(x + 4)(x - 1) = (4)(-1) = -4 < 0\]
    • Intervalo \((1, \infty)\): elige \(x = 2\)
      \[(x + 4)(x - 1) = (6)(1) = 6 > 0\]
  • Determina dónde la expresión es positiva:
    La expresión es positiva en:
    \((-\infty, -4)\) y \((1, \infty)\)
  • Respuesta final en notación de intervalos:
    \[\boxed{(-\infty, -4) \cup (1, \infty)}\]

Pregunta 4

Resuelve la desigualdad \[ 2x^2 \lt 32 \]

  1. \( (-4,\, 4) \)
  2. \( (-\infty,\, 4) \)
  3. \( \left(-\sqrt{32},\, \sqrt{32} \right) \)
  4. Sin soluciones
  5. \( (-4,\, +\infty) \)

Solución:

  • Desigualdad dada:
    \[2x^2 < 32\]
  • Divide ambos lados por 2:
    \[\dfrac{2x^2}{2} < \dfrac{32}{2}\]
    \[x^2 < 16\]
  • Toma raíces cuadradas en ambos lados (recuerda considerar ambas raíces positiva y negativa):
    \[-4 < x < 4\]
  • Respuesta final en notación de intervalos:
    \[\boxed{(-4,\ 4)}\]

Pregunta 5

Resuelve la desigualdad \[ 25 x^2 \le 9x \]

  1. Sin soluciones
  2. \( (-\infty , +\infty) \)
  3. \( [0 , +\infty) \)
  4. \( \left[0 , \dfrac{9}{25} \right] \)
  5. \( \left[0 , \dfrac{9}{5} \right) \)

Solución:

  • Desigualdad dada:
    \[25x^2 \le 9x\]
  • Mueve todos los términos a un lado para formar una desigualdad cuadrática estándar:
    \[25x^2 - 9x \le 0\]
  • Factoriza la expresión cuadrática:
    \[x(25x - 9) \le 0\]
  • Encuentra los puntos críticos resolviendo:
    \[x = 0 \quad \text{o} \quad 25x - 9 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{9}{25}\]
  • Prueba intervalos entre puntos críticos:
    Los puntos críticos dividen la recta numérica en intervalos:
    \[ \text{Intervalo 1: } (-\infty, 0) \\ \text{Intervalo 2: } (0, \dfrac{9}{25}) \\ \text{Intervalo 3: } \left(\dfrac{9}{25}, \infty\right) \] Elige puntos de prueba en cada intervalo:
    Para \(x = -1\): \(x(25x - 9) = (-1)(-25 - 9) = 34 > 0\)
    Para \(x = \dfrac{1}{10}\): \(\dfrac{1}{10}(25 \cdot \dfrac{1}{10} - 9) = \dfrac{1}{10}(-6.5) = -0.65 < 0\)
    Para \(x = 1\): \(1(25 - 9) = 16 > 0\)
    Entonces la desigualdad se satisface solo en el intervalo: \[ \left[0, \dfrac{9}{25}\right] \]
  • Respuesta final en notación de intervalos:
    \[\boxed{[0, \dfrac{9}{25}]}\]

Pregunta 6

Resuelve la desigualdad \[ \dfrac{1 + x} {|x - 2|} \gt 0 \]

  1. \( (-1 , +\infty) \)
  2. \( (-1 , 2) \cup (2 , +\infty) \)
  3. \( [-1 , +\infty) \)
  4. \( (2 , +\infty) \)
  5. \( (-\infty , +\infty) \)

Solución:

  • Desigualdad dada:
    \[\dfrac{1 + x}{|x - 2|} > 0\]
  • Nota: El denominador \(|x - 2|\) es siempre positivo excepto en \(x = 2\), donde no está definido.
    Por lo tanto, solo necesitamos determinar cuándo el numerador \(1 + x > 0\), ya que el denominador es positivo.
    Restricción del dominio: \(x \ne 2\)
  • Resuelve la desigualdad del numerador:
    \[1 + x > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -1\]
  • Conclusión: La expresión es positiva cuando:
    \[ \begin{cases} x > -1 \\ x \ne 2 \end{cases} \]
  • Respuesta final en notación de intervalos:
    \[\boxed{(-1, 2) \cup (2, \infty)}\]

Pregunta 7

Resuelve la desigualdad \[ \dfrac{(2x^{2} + 3)(x + 2)}{x^{2} - 4} \geq 0 \]

  1. \((-\infty, +\infty)\)
  2. \((-\infty, 2)\)
  3. \((2, +\infty)\)
  4. \([2, +\infty)\)
  5. \( \text{sin soluciones} \)

Solución:

  • Desigualdad dada:
    \[ \dfrac{(2x^2 + 3)(x + 2)}{x^2 - 4} \geq 0 \]
  • Factoriza el denominador:
    \[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \] Entonces la desigualdad se convierte en:
    \[ \dfrac{(2x^2 + 3)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} \geq 0 \]
  • Cancelar factores comunes:
    \(x + 2\) aparece tanto en el numerador como en el denominador, pero **no podemos cancelarlo completamente** porque la división por cero no está definida.
    Debemos notar que \(x \neq -2\), y simplificar a:
    \[ \dfrac{2x^2 + 3}{x - 2} \geq 0,\quad \text{con } x \neq -2 \]
  • Analiza la expresión:
    - El numerador \(2x^2 + 3\) es siempre positivo para todo \(x\) real, ya que no tiene raíces reales y se abre hacia arriba.
    - El signo de la expresión depende del denominador \(x - 2\)
  • Determina dónde la expresión es no negativa:
    - Cuando \(x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2\), toda la expresión es positiva
    - Cuando \(x - 2 < 0 \Rightarrow x < 2\), toda la expresión es negativa
    - En \(x = 2\), la expresión no está definida
    - En \(x = -2\), la expresión tampoco está definida debido al denominador original
  • Solución:
    La expresión es no negativa cuando:
    \[ \dfrac{2x^2 + 3}{x - 2} \geq 0 \Rightarrow x > 2 \] (excluimos \(x = -2\) y \(x = 2\) porque hacen el denominador cero)
  • Respuesta final en notación de intervalos:
    \[ \boxed{(2, \infty)} \]

Pregunta 8

Resuelve la desigualdad \[ \dfrac{4}{6x - 4} \leq \dfrac{2}{2x + 2} \]

  1. \((-\infty, -1] \cup [4, +\infty)\)
  2. \(\left(\dfrac{2}{3}, 4\right]\)
  3. \((-1, \dfrac{2}{3})\)
  4. \((-1, \dfrac{2}{3}) \cup [4, +\infty)\)
  5. \([4, +\infty)\)

Solución:

  • Desigualdad dada:
    \[\dfrac{4}{6x - 4} \leq \dfrac{2}{2x + 2}\]
  • Simplifica los denominadores:
    Factoriza cada uno:
    \[6x - 4 = 2(3x - 2), \quad 2x + 2 = 2(x + 1)\]
    Entonces la desigualdad se convierte en:
    \[\dfrac{4}{2(3x - 2)} \leq \dfrac{2}{2(x + 1)}\]
  • Cancelar el factor común de 2 en los denominadores:
    \[\dfrac{2}{3x - 2} \leq \dfrac{1}{x + 1}\]
  • Lleva todos los términos a un lado:
    \[\dfrac{2}{3x - 2} - \dfrac{1}{x + 1} \leq 0\]
  • Encuentra el denominador común:
    \[ \dfrac{2(x + 1) - 1(3x - 2)}{(3x - 2)(x + 1)} \leq 0 \] Simplifica el numerador:
    \[ 2(x + 1) - 3x + 2 = 2x + 2 - 3x + 2 = -x + 4 \] Entonces la desigualdad se convierte en:
    \[ \dfrac{-x + 4}{(3x - 2)(x + 1)} \leq 0 \]
  • Encuentra los puntos críticos igualando el numerador y el denominador a 0:
    \[ -x + 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \] \[ 3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{2}{3}, \quad x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \]
  • Haz una tabla de signos alrededor de los puntos críticos: \(x = -1\), \(\dfrac{2}{3}\) y \(4\)
    Prueba intervalos:
    • \(x < -1\): elige \(x = -2\)
      \[ \dfrac{-(-2) + 4}{(3(-2) - 2)(-2 + 1)} = \dfrac{2 + 4}{(-6 - 2)(-1)} = \dfrac{6}{(-8)(-1)} = \dfrac{6}{8} > 0 \]
    • \(-1 < x < \dfrac{2}{3}\): elige \(x = 0\)
      \[ \dfrac{-0 + 4}{(0 - 2)(0 + 1)} = \dfrac{4}{(-2)(1)} = \dfrac{4}{-2} = -2 < 0 \]
    • \(\dfrac{2}{3} < x < 4\): elige \(x = 1\)
      \[ \dfrac{-1 + 4}{(3 - 2)(2)} = \dfrac{3}{(1)(2)} = \dfrac{3}{2} > 0 \]
    • \(x > 4\): elige \(x = 5\)
      \[ \dfrac{-5 + 4}{(15 - 2)(6)} = \dfrac{-1}{13 \cdot 6} < 0 \]
  • Determina los intervalos donde la expresión es = 0:
    Esto ocurre donde la expresión es negativa **o cero**:
    • Negativa: en los intervalos \((-1, \dfrac{2}{3})\) y \((4, \infty)\)
    • Cero: cuando el numerador es cero ? \(x = 4\)
    • Excluye puntos donde el denominador es cero: \(x = -1\), \(x = \dfrac{2}{3}\)
    Entonces la solución es:
    \[ (-1, \dfrac{2}{3}) \cup [4, \infty) \]
  • Respuesta final en notación de intervalos:
    \[\boxed{(-1, \dfrac{2}{3}) \cup [4, \infty)}\]

Pregunta 9

Resuelve la desigualdad doble. \[ 2 < \dfrac{|x + 1|}{2} - 2 < 5 \]

  1. : \((-3, -15)\)
  2. : sin soluciones
  3. : \((-15, -9) \cup (7, 13)\)
  4. : \((7, 13)\)
  5. : \((-\infty, +\infty)\)

Solución:

  • Desigualdad doble dada:
    \[2 < \dfrac{|x + 1|}{2} - 2 < 5\]
  • Suma 2 a todas las partes de la desigualdad:
    \[2 + 2 < \dfrac{|x + 1|}{2} < 5 + 2\]
    \[4 < \dfrac{|x + 1|}{2} < 7\]
  • Multiplica todas las partes por 2:
    \[2 \cdot 4 < |x + 1| < 2 \cdot 7\]
    \[8 < |x + 1| < 14\]
  • Ahora resuelve la desigualdad compuesta con valor absoluto:
    \[8 < |x + 1| < 14\]
    Esto da dos desigualdades separadas:
    \[\text{O } x + 1 < -8 \quad \text{o} \quad x + 1 > 8\]
    y
    \[x + 1 < 14 \quad \text{y} \quad x + 1 > -14\]
  • Ahora combina ambas condiciones:
    \[\text{Los valores válidos de } x \text{ satisfacen:}\]
    \[(x + 1 < -8 \text{ y } x + 1 > -14) \quad \text{o} \quad (x + 1 > 8 \text{ y } x + 1 < 14)\]
  • Simplifica cada caso:
    Caso 1:
    \[-14 < x + 1 < -8 \Rightarrow -15 < x < -9\]
    Caso 2:
    \[8 < x + 1 < 14 \Rightarrow 7 < x < 13\]
  • Respuesta final en notación de intervalos:
    \[\boxed{(-15, -9) \cup (7, 13)}\]

Pregunta 10

Resuelve la desigualdad \[ x^{2} < -x^{4} \]

  1. : sin soluciones
  2. : \((-1, 1)\)
  3. : \((-\infty, +\infty)\)
  4. : \((0, +\infty)\)
  5. : \([0, +\infty)\)

Solución:

  • Desigualdad dada:
    \[ x^{2} < -x^{4} \]
  • Reescribe la desigualdad llevando todos los términos a un lado:
    \[ x^{2} + x^{4} < 0 \]
  • Factoriza el lado izquierdo:
    \[ x^{2} + x^{4} = x^{2}(1 + x^{2}) \]
  • Analiza los factores:
    \[ x^{2} \geq 0 \quad \text{para todo } x \text{ real} \] y \[ 1 + x^{2} > 0 \quad \text{para todo } x \text{ real} \]
  • Dado que ambos factores son siempre \(\geq 0\) y \(> 0\) respectivamente, su producto
    \[ x^{2}(1 + x^{2}) \geq 0 \] para todo \(x\), entonces
    \[ x^{2}(1 + x^{2}) < 0 \] no tiene soluciones reales.
  • Respuesta final:
    \[ \boxed{\text{Ningún } x \text{ real satisface } x^{2} < -x^{4}} \]

Más Referencias y Enlaces