Resolver desigualdades cuadráticas gráficamente
Este es un tutorial sobre cómo resolver desigualdades cuadráticas gráficamente. Las desigualdades cuadráticas exploradas son del tipo
\[ a x^2 + b x + c \lt 0 \]
y
\[ a x^2 + b x + c \gt 0 \]
Repaso
Una aplicación grafica \( y = a x^2 + b x + c \) y muestra la parte de la gráfica que está debajo del eje x \( ( y \lt 0 ) \) en azul y la parte que está arriba del eje x \( ( y \gt 0 ) \) en rojo. Para resolver una desigualdad cuadrática, solo se lee el intervalo correspondiente a \( y \lt 0 \) o \( y \gt 0 \) según la desigualdad a resolver.
Tutoriales interactivos
Graficador de funciones cuadráticas
Ingrese valores para los coeficientes a, b y c para ver cómo afectan la forma y posición de la parábola.
Intersecciones con el eje x
$$y = ax^2 + bx + c$$
Ecuación actual: \( y = 1.0 x^2 + 2 x -3 \)
Ejemplo 1 :
Resuelva gráfica y analíticamente la desigualdad cuadrática
\[
- x^2 + 3x + 4 \lt 0
\]
Solución al Ejemplo 1:
Solución gráfica:
Use la aplicación anterior para ingresar los coeficientes \( a = -1 \), \( b = 3 \) y \( c = 4 \) y graficar la ecuación \( y = - x^2 + 3x + 4 \). El conjunto solución de la desigualdad \( - x^2 + 3x + 4 \lt 0 \) corresponde a las coordenadas x de los puntos en la gráfica para los cuales \( y \lt 0 \) AZUL. Tenemos dos intervalos para los cuales \( y \lt 0 \) cuya unión se escribe en forma de intervalo como:
\[
(-\infty , -1) \cup (4 , +\infty)
\]
Solución analítica:
Factorice el término izquierdo de la desigualdad dada
\[
- x^2 + 3x + 4 = (x + 1)(-x + 4)
\]
Para resolver la desigualdad dada, estudiamos el signo de la expresión:
\[
(x + 1)(-x + 4)
\]
Esta expresión tiene ceros en \(x = -1\) y \(x = 4\). Estos valores dividen la recta numérica en tres intervalos:
- \((-\infty, -1)\)
- \((-1, 4)\)
- \((4, +\infty)\)
Analizamos el signo de la expresión \(-x^2 + 3x + 4\) en cada intervalo eligiendo puntos de prueba:
1. Intervalo \((-\infty, -1)\):
Sea \(x = -2\)
\[
-x^2 + 3x + 4 = -(-2)^2 + 3(-2) + 4 = -4 - 6 + 4 = -6
\]
El resultado es negativo, por lo que este intervalo es parte del conjunto solución.
2. Intervalo \((-1, 4)\):
Sea \(x = 0\)
\[
-x^2 + 3(0) + 4 = 0 + 0 + 4 = 4
\]
El resultado es positivo, por lo que este intervalo no es parte del conjunto solución.
3. Intervalo \((4, +\infty)\):
Sea \(x = 5\)
\[
-x^2 + 3(5) + 4 = -25 + 15 + 4 = -6
\]
El resultado es negativo, por lo que este intervalo es parte del conjunto solución.
Respuesta final:
El conjunto solución de la desigualdad, donde la expresión es negativa, es la unión de los dos intervalos en los que la expresión \( - x^2 + 3x + 4 \) es negativa:
\[
(-\infty, -1) \cup (4, +\infty)
\]
- Tanto el método gráfico como el analítico dan la misma respuesta.
Ejemplo 2
Resuelva gráfica y analíticamente la desigualdad cuadrática
\[ -x^2 + 4x - 5 \gt 0 \]
Solución al Ejemplo 2:
Solución gráfica:
Use la aplicación para establecer los coeficientes \( a = -1\), \( b = 4 \) y \( c = -5 \) y graficar la ecuación \( y = -x^2 + 4x - 5 \). Esta desigualdad no tiene solución ya que toda la gráfica está debajo del eje x y por lo tanto \( -x^2 + 4x - 5 \lt 0 \) para todos los valores de \( x \).
Solución analítica
Para resolver la desigualdad dada, analizamos el signo de la expresión cuadrática.
-
La expresión \(-x^2 + 4x - 5\) no se puede factorizar sobre los números reales porque su discriminante \[ \Delta = 4^2 - 4 (-1)(-5) = -4 \] es negativo.
Por lo tanto, no tiene ceros reales y su signo no cambia en toda la recta numérica real.
Para determinar su signo, evaluamos la expresión en un solo valor de \(x\).
Elijamos \(x = 0\):
\[
-x^2 + 4x - 5 = -(0)^2 + 4(0) - 5 = -5
\]
Dado que el resultado es negativo, la expresión es negativa para todos los valores reales de \(x\).
-
La expresión \(-x^2 + 4x - 5\) es siempre negativa. Por lo tanto, la desigualdad
\(-x^2 + 4x - 5 > 0\) no tiene solución.
Ejercicios
Resuelva cada desigualdad cuadrática tanto gráficamente (usando la aplicación) como analíticamente:
- \[
-x^2 - 4x \lt -5
\]
- \[
x^2 - 2x + 8 \geq 0
\]
- \[
x^2 - 3x \leq 0
\]
Soluciones a los Ejercicios Anteriores
- \[
(-\infty , -5) \cup (1 , +\infty)
\]
- \[
(-\infty , +\infty)
\]
- \[
[0 , 3]
\]
Más referencias y enlaces