Resolver Desigualdades Cuadráticas

Este tutorial explica cómo resolver desigualdades cuadráticas de la forma \( ax^2 + bx + c \ge 0 \) y \( ax^2 + bx + c \le 0 \), utilizando ejemplos claros y soluciones detalladas. El método consiste en encontrar los ceros (o raíces) de la ecuación cuadrática correspondiente, factorizar o usar la fórmula cuadrática, y luego analizar el signo de la expresión en diferentes intervalos. Las soluciones se presentan en notación de intervalos, apoyadas por una tabla de signos o una recta numérica para ayudar a visualizar dónde la expresión es positiva, negativa o cero.

Ejemplo 1:

Resuelve la desigualdad \[ 3 x^2 \gt -x + 4 \]

Solución al Ejemplo 1:

Dado \[ 3 x^2 > -x + 4 \] Reescribe la desigualdad con un lado igual a cero. \[ 3 x^2 + x - 4 > 0 \] Encuentra el discriminante \( \Delta \) dado por \[ \Delta = b^2 - 4 a c = 1^2 - 4 (3) (-4) = 49 \] Como el discriminante es positivo, el lado izquierdo \( 3 x^2 + x - 4 \) de la desigualdad tiene dos ceros en los cuales el signo de la expresión \( 3 x^2 + x - 4 \) cambia.

Factoriza el lado izquierdo de la desigualdad. \[ (3x + 4)(x - 1) \gt 0 \] Los dos ceros reales \( - 4 / 3 \) y \( 1 \) del lado izquierdo de la desigualdad dividen la recta numérica real en 3 intervalos. \[ (-\infty, -\dfrac{4}{3}) , \quad (-\dfrac{4}{3}, 1) \quad , (1, +\infty) \] Elegimos un número real dentro de cada intervalo y lo usamos para encontrar el signo de la expresión \( (3x + 4)(x - 1) \).

a) intervalo \( (-\infty, -\dfrac{4}{3}) \): elige un valor de x dentro del intervalo, por ejemplo \( x = - 2 \) y encuentra el signo de \( (3x + 4)(x - 1) \)
\[ (3x + 4)(x - 1) = (3(-2) + 4)(-2 - 1) = 6 \] Por lo tanto La expresión \( (3x + 4)(x - 1) \) es positiva en el intervalo \( (-\infty, -\dfrac{4}{3}) \)
b) intervalo \( (-\dfrac{4}{3}, 1) \): elige un valor de x dentro del intervalo, por ejemplo \( x = 0 \) y encuentra el signo de \[ (3x + 4)(x - 1) = (0 + 4)(0 - 1) = - 4 \] Por lo tanto, la expresión \( (3x + 4)(x - 1) \) es negativa en el intervalo \( (-\dfrac{4}{3}, 1) \)
c) intervalo \( (1, +\infty) \): elige un valor de x dentro del intervalo, por ejemplo \( x = 4 \) y encuentra el signo de \[ (3x + 4)(x - 1) = (3(4) + 4)((4) - 1) = 48 \] Por lo tanto, la expresión \( (3x + 4)(x - 1) \) es positiva en el intervalo \( (1, +\infty) \)

Tabla de signos \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Intervalo} & \text{Punto de Prueba} & \text{Signo de } (3x + 4)(x - 1) \\ \hline (-\infty, -\tfrac{4}{3}) & x = -2 & + \\ \hline (-\tfrac{4}{3}, 1) & x = 0 & - \\ \hline (1, \infty) & x = 4 & + \\ \hline \end{array} \] Necesitamos valores de \( x \) para los cuales las expresiones \( (3x + 4)(x - 1) \) es mayor que 0, por lo tanto, el conjunto solución es la unión de los dos intervalos para los cuales \( (3x + 4)(x - 1) \) es mayor que 0 y está dado por: \[ \boxed{ (-\infty, -\dfrac{4}{3}) \cup (1, +\infty) } \]

Ejemplo 2

Resuelve la desigualdad \[ -x^2 + 3x \ge -2 \]

Solución al Ejemplo 2:

Mueve todos los términos a un lado:

\[ -x^2 + 3x + 2 \ge 0 \]

Multiplica ambos lados por \(-1\) (cambia el signo de la desigualdad):

\[ x^2 - 3x - 2 \le 0 \]

Encuentra las raíces de la ecuación cuadrática \( x^2 - 3x - 2 = 0 \) usando la fórmula cuadrática:

\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2} \]

Aproximaciones:

\( x_1 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2} \approx -0.56 \)
\( x_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \approx 3.56 \)

Analiza el signo de \( x^2 - 3x - 2 \) en los intervalos divididos por las raíces:

\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Intervalo} & \text{Punto de Prueba} & \text{Signo de } x^2 - 3x - 2 \\ \hline \left(-\infty, \frac{3 - \sqrt{17}}{2}\right) & x = -1 & + \\ \hline \left(\frac{3 - \sqrt{17}}{2}, \frac{3 + \sqrt{17}}{2}\right) & x = 1 & - \\ \hline \left(\frac{3 + \sqrt{17}}{2}, \infty\right) & x = 4 & + \\ \hline \end{array} \]

Como la desigualdad es \( \le 0 \), incluye las raíces y el intervalo negativo. La solución es:

\[ \boxed{ \left[ \frac{3 - \sqrt{17}}{2} \; , \; \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \right] } \]

Ejemplo 3

Resuelve la desigualdad \[ x^2 \lt -x - 4 \]

Solución al Ejemplo 3:

Dado: \[ x^2 < -x - 4 \]

Reescribe la desigualdad con un lado igual a cero:

\[ x^2 + x + 4 < 0 \]

Encuentra el discriminante \( \Delta \):

\[ \Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(4) = -15 \]

Como el discriminante es negativo, la expresión cuadrática \(x^2 + x + 4\) no tiene ceros reales y mantiene el mismo signo en todo el intervalo \((-\infty, +\infty)\). Para determinar el signo, podemos probar un solo valor.

Elige \(x = 0\) y evalúa la expresión:

\[ x^2 + x + 4 = 0^2 + 0 + 4 = 4 \]

La expresión \(x^2 + x + 4\) es positiva para todos los \(x\) reales, por lo que la desigualdad no tiene soluciones.

Ejercicios

Resuelve las siguientes desigualdades cuadráticas y expresa tus respuestas usando notación de intervalos.

\( -x^2 + 2x > -3 \)
\( x^2 - 4x > -6 \)

Soluciones a los Ejercicios Anteriores

\( (-1, 3) \)
\( (-\infty, +\infty) \)

Más referencias y enlaces sobre cómo Resolver Ecuaciones, Sistemas de Ecuaciones y Desigualdades Solucionador Paso a Paso para Desigualdades Cuadráticas