Preguntas sobre Funciones Inyectivas
Esta página presenta varias preguntas con soluciones detalladas, así como ejercicios con respuestas, sobre funciones inyectivas (uno a uno).
Definición de una Función Inyectiva
Se dice que una función \(f(x)\) es inyectiva si entradas diferentes siempre producen salidas diferentes. Formalmente,
\[
A \neq B \; \Rightarrow \; f(A) \neq f(B)
\]
donde \(A\) y \(B\) son cualquier valor en el dominio de la función \(f\).
La forma contrapositiva de esta definición, que suele ser más conveniente de usar, es:
\[
f(A) = f(B) \; \Rightarrow \; A = B
\]
Usaremos esta contrapositiva para determinar si una función dada es inyectiva.
Preguntas con Soluciones
Pregunta 1
¿Es la función \(f\) definida por
\[
f = {(1,2),(3,4),(5,6),(8,6),(10,-1)}
\]
una función inyectiva?
Solución a la Pregunta 1
-
Dos valores diferentes en el dominio, a saber \(5\) y \(8\), tienen la misma salida \(6\). Por lo tanto, la función \(f\) no es una función inyectiva.
Pregunta 2
¿Es la función \(g\) definida por
\[
g = {(-1,2),(0,4),(2,-4),(5,6),(10,0)}
\]
una función inyectiva?
Solución a la Pregunta 2
-
Cada valor en el dominio corresponde a una salida distinta. Por lo tanto, la función \(g\) es una función inyectiva.
Pregunta 3
¿Es la función \(f\) dada por
\[
f(x) = -x^3 + 3x^2 - 2
\]
una función inyectiva?
Solución a la Pregunta 3
-
Se puede utilizar una gráfica de la función y la prueba de la línea horizontal para responder esta pregunta.
-
Dado que una línea horizontal puede intersectar la gráfica en tres puntos diferentes, existen entradas distintas \(x_1, x_2, x_3\) que producen la misma salida. Por lo tanto, la función \(f\) no es inyectiva.
Pregunta 4
Demuestra que todas las funciones lineales de la forma
\[
f(x) = ax + b
\]
donde \(a\) y \(b\) son números reales y \(a \neq 0\), son funciones inyectivas.
Solución a la Pregunta 4
-
Supongamos que \(f(A) = f(B)\). Entonces
\[
aA + b = aB + b.
\]
-
Restamos \(b\) de ambos lados:
\[
aA = aB.
\]
-
Dividimos ambos lados por \(a \neq 0\):
\[
A = B.
\]
-
Dado que \(f(A) = f(B)\) implica \(A = B\), todas las funciones lineales de esta forma son inyectivas.
Pregunta 5
Demuestra que todas las funciones de la forma
\[
f(x) = a(x - h)^2 + k, \quad x \ge h
\]
donde \(a, h, k\) son números reales y \(a \neq 0\), son funciones inyectivas.
Solución a la Pregunta 5
-
Comenzamos con \(f(A) = f(B)\):
\[
a(A - h)^2 + k = a(B - h)^2 + k.
\]
-
Restamos \(k\) y dividimos por \(a\):
\[
(A - h)^2 = (B - h)^2.
\]
-
Esto implica
\[
A - h = B - h \quad \text{o} \quad A - h = -(B - h).
\]
-
La primera ecuación da \(A = B\).
-
Dado que el dominio satisface \(x \ge h\), tenemos \(A - h \ge 0\) y \(B - h \ge 0\). Por lo tanto, la segunda ecuación no tiene solución.
Pregunta 6
¿Es la función \(f\) dada por
\[
f(x) = \frac{1}{(x - 2)^2}
\]
una función inyectiva?
Solución a la Pregunta 6
-
Encontramos que
\(f(0) = \frac{1}{4}\) y \(f(4) = \frac{1}{4}\). Dado que dos entradas diferentes dan la misma salida, la función \(f\) no es inyectiva.
Pregunta 7
Demuestra que todas las funciones racionales de la forma
\[
f(x) = \frac{1}{ax + b}
\]
donde \(a\) y \(b\) son números reales con \(a \neq 0\), son funciones inyectivas.
Solución a la Pregunta 7
-
Supongamos que \(f(A) = f(B)\):
\[
\frac{1}{aA + b} = \frac{1}{aB + b}.
\]
-
Multiplicamos ambos lados por \((aA + b)(aB + b)\):
\[
aB + b = aA + b.
\]
-
Restamos \(b\) y dividimos por \(a\):
\[
B = A.
\]
-
Por lo tanto, todas las funciones de esta forma son inyectivas.
Ejercicios
Para cada una de las siguientes funciones, indica si es una función inyectiva.
- \(f = \{(12,2),(15,4),(19,-4),(25,6),(78,0)\}\)
- \(g = \{(-1,2),(0,4),(9,-4),(18,6),(23,-4)\}\)
- \(h(x) = x^2 + 2\)
- \(i(x) = \frac{1}{2x - 4}\)
- \(j(x) = -5x + \frac{1}{2}\)
- \(k(x) = \frac{1}{|x - 4|}\)
Respuestas a los Ejercicios
- \(f\) es una función inyectiva
- \(g\) no es una función inyectiva
- \(h\) no es una función inyectiva
- \(i\) es una función inyectiva
- \(j\) es una función inyectiva
- \(k\) no es una función inyectiva
Explora más con este tutorial interactivo sobre Funciones Inyectivas.