Resolver Desigualdades Racionales: Ejemplos Paso a Paso con Soluciones

Comprendiendo las Desigualdades Racionales

El signo de una expresión racional \[\dfrac{P(x)}{Q(x)}\] donde \(P\) y \(Q\) son polinomios, depende de los signos tanto de \(P(x)\) como de \(Q(x)\). El signo cambia solo en los ceros de \(P(x)\) y \(Q(x)\). Por lo tanto, para resolver desigualdades de la forma \(\dfrac{P(x)}{Q(x)} > 0\) o \(\dfrac{P(x)}{Q(x)} < 0\), debemos:

  1. Encontrar todos los ceros de \(P(x)\) y \(Q(x)\)
  2. Construir una tabla de signos usando valores de prueba
  3. Determinar los intervalos donde se cumple la desigualdad

6 Problemas de Práctica con Soluciones Detalladas

Ejemplo 1: Desigualdad Racional Básica

Resuelve la desigualdad:

\[ \dfrac{-3}{-x + 4} > 0 \]

Solución

Paso 1: Identificar ceros

  • Numerador: \(-3\) (constante, sin ceros)
  • Cero del denominador: \(-x + 4 = 0 \Rightarrow x = 4\)

Paso 2: Probar intervalos

  1. Intervalo \((-∞, 4)\): Prueba \(x = 0\) \[ \dfrac{-3}{-0 + 4} = \dfrac{-3}{4} < 0 \quad \text{(negativo)} \]
  2. Intervalo \((4, ∞)\): Prueba \(x = 5\) \[ \dfrac{-3}{-5 + 4} = \dfrac{-3}{-1} = 3 > 0 \quad \text{(positivo)} \]

Paso 3: Tabla de signos

\(x\) \(-∞\) 4 \(∞\)
\(\dfrac{-3}{-x+4}\) \(-\) undef \(+\)

Solución: \((4, ∞)\)

Verificación gráfica:

Gráfica de y = -3/(-x+4) mostrando positividad para x > 4

Ejemplo 2: Numerador y Denominador Lineales

Resuelve:

\[ \dfrac{x - 1}{x + 2} > 0 \]

Solución

Ceros: Numerador: \(x = 1\), Denominador: \(x = -2\)

Probar intervalos:

  1. \((-∞, -2)\): Prueba \(x = -3\) \[ \dfrac{-3 - 1}{-3 + 2} = \dfrac{-4}{-1} = 4 > 0 \]
  2. \((-2, 1)\): Prueba \(x = 0\) \[ \dfrac{0 - 1}{0 + 2} = -\dfrac{1}{2} < 0 \]
  3. \((1, ∞)\): Prueba \(x = 2\) \[ \dfrac{2 - 1}{2 + 2} = \dfrac{1}{4} > 0 \]

Tabla de signos:

\(x\) \(-∞\) -2 1 \(∞\)
\(\dfrac{x-1}{x+2}\) \(+\) undef \(-\) 0 \(+\)

Solución: \((-∞, -2) \cup (1, ∞)\)

Gráfica de y = (x-1)/(x+2) mostrando positividad fuera de [-2,1]

Ejemplo 3: Expresiones Racionales Combinadas

Resuelve:

\[ \dfrac{2}{x - 3} \le \dfrac{3}{x + 4} \]

Solución

Paso 1: Mover todos los términos a un lado

\[ \dfrac{2}{x - 3} - \dfrac{3}{x + 4} \le 0 \]

Paso 2: Combinar fracciones

\[ \dfrac{2(x+4) - 3(x-3)}{(x-3)(x+4)} \le 0 \] \[ \dfrac{-x + 17}{(x-3)(x+4)} \le 0 \]

Paso 3: Encontrar puntos críticos

  • Cero del numerador: \(-x + 17 = 0 \Rightarrow x = 17\)
  • Ceros del denominador: \(x = 3\) y \(x = -4\)

Paso 4: Probar intervalos

  1. \((-∞, -4)\): Prueba \(x = -5\) → \(\dfrac{22}{8} > 0\)
  2. \((-4, 3)\): Prueba \(x = 0\) → \(-\dfrac{17}{12} < 0\)
  3. \((3, 17)\): Prueba \(x = 4\) → \(\dfrac{13}{8} > 0\)
  4. \((17, ∞)\): Prueba \(x = 18\) → \(-\dfrac{1}{330} < 0\)

Solución incluyendo igualdad en el cero del numerador: \((-4, 3) \cup [17, ∞)\)

Ejemplo 4: Numerador Cuadrático

Resuelve:

\[ \dfrac{2x + 1}{x+2} \ge \dfrac{x-4}{x - 3} \]

Solución

Paso 1: Combinar términos

\[ \dfrac{2x + 1}{x+2} - \dfrac{x-4}{x - 3} \ge 0 \] \[ \dfrac{x^2 - 3x + 5}{(x+2)(x-3)} \ge 0 \]

Paso 2: Analizar numerador y denominador

  • Numerador: \(x^2 - 3x + 5\) tiene discriminante \((-3)^2 - 4(1)(5) = -11 < 0\), por lo tanto siempre positivo
  • Ceros del denominador: \(x = -2\) y \(x = 3\)

Paso 3: Probar intervalos

  1. \((-∞, -2)\): Positivo
  2. \((-2, 3)\): Negativo
  3. \((3, ∞)\): Positivo

Solución: \((-∞, -2) \cup (3, ∞)\)

Solución gráfica para la desigualdad del Ejemplo 4

Ejemplo 5: Denominador Factorizado

Resuelve:

\[ \dfrac{x}{x^2 - 2x - 3} \le \dfrac{1}{x + 3} \]

Solución

Paso 1: Factorizar y combinar

\[ \dfrac{x}{(x-3)(x+1)} - \dfrac{1}{x + 3} \le 0 \] \[ \dfrac{5x + 3}{(x-3)(x+1)(x+3)} \le 0 \]

Paso 2: Puntos críticos

  • Cero del numerador: \(x = -\dfrac{3}{5}\)
  • Ceros del denominador: \(x = 3, -1, -3\)

Paso 3: Análisis de signos

Intervalos: \((-∞, -3), (-3, -1), (-1, -\dfrac{3}{5}), (-\dfrac{3}{5}, 3), (3, ∞)\)

Solución incluyendo igualdad en el cero del numerador: \((-3, -1) \cup [-\dfrac{3}{5}, 3)\)

Solución gráfica para la desigualdad del Ejemplo 5

Ejemplo 6: Con Valor Absoluto

Resuelve:

\[ \dfrac{3x^2}{|x^2-3x-4|} \ge \dfrac{1}{3} \]

Solución

Paso 1: Combinar términos

\[ \dfrac{3x^2}{|x^2-3x-4|} - \dfrac{1}{3} \ge 0 \] \[ \dfrac{9x^2 - |x^2-3x-4|}{3|x^2-3x-4|} \ge 0 \]

Paso 2: Considerar casos de valor absoluto

Ceros del denominador: \(x^2-3x-4=0 \Rightarrow x=-1, 4\)

Paso 3: Resolver el numerador

Caso 1: \(|x^2-3x-4| = x^2-3x-4\) cuando \(x \le -1\) o \(x \ge 4\)
Caso 2: \(|x^2-3x-4| = -(x^2-3x-4)\) cuando \(-1 < x < 4\)

Paso 4: Puntos críticos del análisis combinado: \(x = -1, -\dfrac{1}{2}, \dfrac{4}{5}, 4\)

Solución: \((-∞, -1) \cup (-1, -\dfrac{1}{2}] \cup [\dfrac{4}{5}, 4) \cup (4, ∞)\)

Solución gráfica para la desigualdad del Ejemplo 6

Recursos Adicionales