Fórmulas de Trigonometría: Identidades de Suma, Diferencia y Producto

Las fórmulas de suma, diferencia y producto para \(\sin(x)\), \(\cos(x)\) y \(\tan(x)\) son herramientas esenciales en trigonometría. Esta guía proporciona explicaciones detalladas, ejemplos resueltos y preguntas de práctica para ayudarte a dominar estas identidades.

Fórmulas de Suma en Trigonometría

  1. \(\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y\)
  2. \(\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y\)
  3. \(\tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}\)

Ejemplo 1: Encontrar \(\sin(x + y)\)

Dado \(\sin x = \frac{1}{5}\) y \(\sin y = -\frac{2}{3}\), con el ángulo \(x\) en el cuadrante II y el ángulo \(y\) en el cuadrante III, encuentra el valor exacto de \(\sin(x + y)\).

Solución

Usando la fórmula de suma: \(\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y\)

Primero, encuentra \(\cos x\) usando \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\):

\(\cos x = -\sqrt{1 - \sin^2 x} = -\sqrt{1 - \left(\frac{1}{5}\right)^2} = -\frac{\sqrt{24}}{5}\) (negativo en el cuadrante II)

Luego, encuentra \(\cos y\):

\(\cos y = -\sqrt{1 - \sin^2 y} = -\sqrt{1 - \left(-\frac{2}{3}\right)^2} = -\frac{\sqrt{5}}{3}\) (negativo en el cuadrante III)

Sustituye los valores:

\(\sin(x + y) = \left(\frac{1}{5}\right)\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right) + \left(-\frac{\sqrt{24}}{5}\right)\left(-\frac{2}{3}\right)\)

\(\sin(x + y) = \frac{-\sqrt{5} + \sqrt{24}}{15}\)

Fórmulas de Diferencia en Trigonometría

  1. \(\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y\)
  2. \(\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y\)
  3. \(\tan(x - y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \tan y}\)

Ejemplo 2: Simplificar \(\cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right)\)

Solución

\(\cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \cos x \cos\frac{\pi}{2} + \sin x \sin\frac{\pi}{2}\)

Como \(\cos\frac{\pi}{2} = 0\) y \(\sin\frac{\pi}{2} = 1\):

\(\cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin x\)

Ejemplo 3: Encontrar \(\sin(15^\circ)\) Exactamente

Solución

\(15^\circ = 45^\circ - 30^\circ\), entonces:

\(\sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ\)

\(\sin(15^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)\)

\(\sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} - 1)}{4}\)

Fórmulas de Producto a Suma

  1. \(\sin x \cos y = \frac{1}{2}[\sin(x + y) + \sin(x - y)]\)
  2. \(\cos x \sin y = \frac{1}{2}[\sin(x + y) - \sin(x - y)]\)
  3. \(\cos x \cos y = \frac{1}{2}[\cos(x + y) + \cos(x - y)]\)
  4. \(\sin x \sin y = \frac{1}{2}[\cos(x - y) - \cos(x + y)]\)

Ejemplo 4: Simplificar \(2\cos(3x)\cos(2x) - \cos(x)\)

Solución

Usando la fórmula 3: \(2\cos(3x)\cos(2x) = 2 \cdot \frac{1}{2}[\cos(5x) + \cos(x)]\)

Entonces: \(2\cos(3x)\cos(2x) - \cos(x) = \cos(5x) + \cos(x) - \cos(x) = \cos(5x)\)

Fórmulas de Suma a Producto

  1. \(\sin x + \sin y = 2\sin\left(\frac{x + y}{2}\right)\cos\left(\frac{x - y}{2}\right)\)
  2. \(\sin x - \sin y = 2\cos\left(\frac{x + y}{2}\right)\sin\left(\frac{x - y}{2}\right)\)
  3. \(\cos x + \cos y = 2\cos\left(\frac{x + y}{2}\right)\cos\left(\frac{x - y}{2}\right)\)
  4. \(\cos x - \cos y = -2\sin\left(\frac{x + y}{2}\right)\sin\left(\frac{x - y}{2}\right)\)

Ejemplo 5: Factorizar \(\sin(4x) - \sin(2x)\)

Solución

Usando la fórmula 2: \(\sin(4x) - \sin(2x) = 2\cos\left(\frac{4x + 2x}{2}\right)\sin\left(\frac{4x - 2x}{2}\right)\)

\(\sin(4x) - \sin(2x) = 2\cos(3x)\sin(x)\)

Preguntas de Práctica

  1. Encuentra el valor exacto de \(\sin(105^\circ)\)
  2. Factoriza la expresión \(\cos(5x) - \cos(3x)\)
  3. Dado \(\sin(x) = -\frac{1}{6}\) y \(\cos(y) = -\frac{1}{3}\) con ambos ángulos en el cuadrante III, encuentra el valor exacto de \(\cos(x + y)\)
  4. Factoriza \(\cos(x) + \sin(x)\) [Pista: Convierte a una sola función trigonométrica primero]

Soluciones

  1. \(\sin(105^\circ) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}\)
  2. \(\cos(5x) - \cos(3x) = -2\sin(4x)\sin(x)\)
  3. \(\cos(x + y) = \frac{\sqrt{35} - \sqrt{8}}{18}\)
  4. \(\cos(x) + \sin(x) = \sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\)

Recursos Adicionales