Preguntas de suma, diferencia y producto de fórmulas trigonométricas

Las fórmulas de suma, diferencia y producto que involucran las funciones sin(x), cos(x) y tan(x) se utilizan para resolver preguntas de trigonometría a través de ejemplos y preguntas con soluciones detalladas.

Fórmulas de suma en trigonometría

1. sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
   
2. cos(x + y) = cos x cos y - sin x sin y
   
3. tan(x + y) = [tan x + tan y] / [1 - tan x tan y]

Ejemplo 1
Dado sen x = 1/5 y sen y = - 2/3, el ángulo x está en el cuadrante II y el ángulo y está en el cuadrante III, encuentre el valor exacto de sen(x + y).
Solución al ejemplo 1
Expande sin(x + y) usando la fórmula de suma del seno (fórmula 1 arriba).
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
Sabemos sen x pero no cos x, usamos la identidad sin²x + cos²x = 1 para encontrar cos x.
cos x = ± √(1 - sin²x)
Como x está en el cuadrante II, cos x es negativa.
cos x = - √(1 - (1/5)²) = - (1/5) √24
Sabemos sen y pero no cos y, usamos la misma identidad anterior sin²y + cos²y = 1 para encontrar cos y.
cos y = ± √(1 - sin²y)
Como y está en el cuadrante III, cos y es negativa.
cos y = - √(1 - (-2/3)²)
= - √(1 - 4/9)
= (-1/3)√(5)
Ahora sustituimos sen x, cos x, sen y y cos y por sus valores en la fórmula anterior.
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
= (1/5) [-(1 / 3)√(5)] + [-(1 / 5)√(24)][-2 / 3]
= [-√(5) + √(24)] / 15

Fórmulas de diferencia en trigonometría

1. sin(x - y) = sin x cos y - cos x sin y
   
2. cos(x - y) = cos x cos y + sin x sin y
   
3. tan(x - y) = [tan x - tan y] / [1 + tan x tan y]

Ejemplo 2
Simplificar cos(x - π/2)
Solución al ejemplo 2
Utilice la fórmula de diferencia (fórmula 2 anterior) para el coseno para expandir la expresión dada
cos(x - π/2) = cos x cos π/2 + sin x sin π/2
cos π/2 = 0 and sin π/2 = 1, hence.
cos(x - π/2) = sin x

Ejemplo 3
Encuentra el valor exacto de sin(15°)
Solución al ejemplo 3
15 ° No es un ángulo especial. Sin embargo, 15° = 45° - 30° y ambos 45° y 30°. Son ángulos especiales. Por eso
sin(15°) = sin (45° - 30°)
Ahora usamos la fórmula de diferencia para el seno.
= sin(45°) cos(30°) - cos(45°) sin(30°)
Sustituye los valores de seno y coseno de 45°. y 30°. en lo anterior para obtener.
sin(15°) = [√(2) / 2][√(3) / 2] - [√(2) / 2][1 / 2]
Denominador común y factorización.
sin(15°) = √(2)[√(3) - 1] / 4

Producto para sumar fórmulas en trigonometría

1. sin x cos y = (1/2) [ sin(x + y) + sin(x - y) ]
   
2. cos x sin y = (1/2) [ sin(x + y) - sin(x - y) ]
   
3. cos x cos y = (1/2) [ cos(x + y) + cos(x - y) ]
   
4. sin x sin y = (1/2) [ cos(x - y) - cos(x + y) ]

Ejemplo 4
Simplificar 2 cos(3 x)cos(2 x) - cos(x)
Solución al ejemplo 4
Utilice la fórmula del producto (fórmula 3 anterior) para escribir cos(3 x) cos(2 x) como una suma en la expresión dada
2 cos(3 x) cos(2 x) - cos(x) = 2 ( (1/2) cos(3 x + 2 x) + cos (3 x - 2 x)) - cos(x)
Simplificar.
cos(5 x) + cos (x) - cos(x) = cos(5 x)

Fórmulas de suma a producto en trigonometría

1. sin x + sin y = 2 sin[ (x + y) / 2 ] cos[ (x - y) / 2 ]
   
2. sin x - sin y = 2 cos[ (x + y) / 2 ] sin[ (x - y) / 2 ]
   
3. cos x + cos y = 2 cos[ (x + y) / 2 ] cos[ (x - y) / 2 ]
   
4. cos x - cos y = 2 sin[ (x + y) / 2 ] sin[ (x - y) / 2 ]

Ejemplo 5
Factoriza la expresión sin(4x) - sin(2x)
Solución al ejemplo 5
Utilice la fórmula de diferencia con el producto (fórmula 2 anterior) para escribir la expresión dada como producto
sin(4x) - sin(2x) = 2 cos ( (4x + 2x) / 2) sin((4x - 2x) / 2)
Simplificar.
sin(4x) - sin(2x) = 2 cos (3 x) sin(x)

Preguntas

Más referencias y enlaces

Fórmulas trigonométricas y sus aplicaciones
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