Problemas de Trigonometría con Soluciones Detalladas
Esta página presenta problemas de trigonometría de la vida real resueltos usando razones trigonométricas,
fórmulas de rotación y ángulos de elevación y depresión.
Problema 1
Una persona se encuentra a 100 metros de la base de un árbol.
El ángulo de elevación hacia la copa del árbol es \(18^\circ\).
Estima la altura \(h\) del árbol.
El ángulo de elevación de un globo aerostático cambia de \(25^\circ\) a \(60^\circ\)
en 2 minutos. El observador está a 300 metros del punto de despegue.
Encuentra la velocidad constante de ascenso del globo.
Solución
\[
\tan(25^\circ) = \frac{h_1}{300} \quad (1)
\]
\[
\tan(60^\circ) = \frac{h_1 + h_2}{300} \quad (2)
\]
La ecuación (1) da:
\[ h_1 = 300 \tan(25^\circ) \quad (3) \]
y la ecuación (2) da:
\[ h_1 + h_2 = 300 \tan(60^\circ) \quad (4) \]
Resta la ecuación (3) de la ecuación (4) para obtener:
\[
h_2 = 300\,[\tan(60^\circ) - \tan(25^\circ)]
\]
Un punto \(P(x,y)\) se rota un ángulo \(a\) alrededor del origen.
Encuentra las coordenadas \((x',y')\) del nuevo punto.
Solución
\[
x = r\cos b,\quad y = r\sin b
\]
\[
x' = r\cos(a+b),\quad y' = r\sin(a+b)
\]
Usando las fórmulas de suma de ángulos:
\[
x' = x\cos a - y\sin a
\]
\[
y' = x\sin a + y\cos a
\]
Problema 4
Un avión vuela a una altitud constante \(h\) y a una velocidad de 600 millas/hora.
Los ángulos de elevación cambian de \(20^\circ\) a \(60^\circ\) en un minuto.
Encuentra la altitud.
Solución
Primero calculamos la distancia \( d \) usando el tiempo y la velocidad (1 minuto = 1/60 hora):
\[
d = 600 \times \frac{1}{60} = 10 \text{ millas}
\]
Luego expresamos la tangente de los ángulos de elevación dados de la siguiente manera:
\[
\tan(20^\circ) = \frac{h}{d+x},\quad
\tan(60^\circ) = \frac{h}{x}
\]
Eliminando \(x\):
\[
h = \frac{d}{\frac{1}{\tan(20^\circ)} - \frac{1}{\tan(60^\circ)}}
= 4.60 \text{ millas}
\]
Problema 5
Desde el punto A (2000 m sobre el suelo), el ángulo de depresión hacia la cima de una montaña es \(15^\circ\).
Desde el punto B en el suelo, el ángulo de elevación es \(10^\circ\).
Encuentra la altura de la montaña.
Solución
Del primer triángulo rectángulo, escribimos:
\[
\tan(10^\circ) = \frac{h}{d}.
\]
Del segundo triángulo rectángulo, escribimos:
\[
\tan(15^\circ) = \frac{2000 - h}{d}.
\]
Despejamos \(d\) en cada ecuación:
\[
d = \frac{h}{\tan(10^\circ)}
\quad \text{y} \quad
d = \frac{2000 - h}{\tan(15^\circ)}.
\]
Eliminamos \(d\) igualando las dos expresiones:
\[
\frac{h}{\tan(10^\circ)} =
\frac{2000 - h}{\tan(15^\circ)}.
\]
Despejamos \(h\):
\[
h =
\frac{2000 \tan(10^\circ)}
{\tan(15^\circ) + \tan(10^\circ)}.
\]
Evaluando numéricamente:
\[
h \approx 793.8 \text{ m}.
\]
