Pregunta
Evalúa el límite:
\[ \lim_{h \to 0} \frac{e^{4} e^{h} - e^{4}}{h} \]Solución
Cuando \(h \to 0\), la sustitución directa da la forma indeterminada \( \frac{0}{0} \).
Sea \( f(x) = e^{x} \). El límite se puede reescribir como:
\[ \lim_{h \to 0} \frac{e^{4+h} - e^{4}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(4+h) - f(4)}{h} \]Esta es la definición de la derivada de \( f(x) = e^{x} \) en \(x = 4\). Por lo tanto,
\[ \lim_{h \to 0} \frac{e^{4} e^{h} - e^{4}}{h} = f'(4) = e^{4} \]Pregunta
La función \(g\) definida por
\[ g(x) = \frac{x^{3} + 2x^{2} - 3x}{x^{2} + 2x - 3} \]tiene asíntotas verticales en:
Solución
Factoriza y simplifica la función racional:
\[ g(x) = \frac{x(x^{2} + 2x - 3)}{x^{2} + 2x - 3} = x \]La función simplificada \(g(x) = x\) no tiene asíntotas verticales.
Pregunta
Dado
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]encuentra
\[ \lim_{x \to 0} \frac{x + 4x^{2} + \sin x}{3x} \]Solución
Usando la regla de la suma de límites:
\[ \begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{x + 4x^{2} + \sin x}{3x} &= \lim_{x \to 0} \left( \frac{x}{3x} + \frac{4x^{2}}{3x} + \frac{\sin x}{3x} \right) \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{1}{3} + \lim_{x \to 0} \frac{4x}{3} + \frac{1}{3} \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \\ &= \frac{1}{3} + 0 + \frac{1}{3}(1) = \frac{2}{3} \end{aligned} \]Pregunta
La función \(f\) está definida por
\[ f(x) = 2x^{3}\sin(x) + \frac{1}{x}\tan(x) + x\sec(x) + 2 \]Encuentra \(f'(x)\).
Solución
Diferencia término a término:
\[ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{d}{dx}[2x^{3}\sin(x)] + \frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x}\tan(x)\right] + \frac{d}{dx}[x\sec(x)] + \frac{d}{dx}[2] \\[4pt] &= 2[3x^{2}\sin(x) + x^{3}\cos(x)] + \left[-\frac{1}{x^{2}}\tan(x) + \frac{1}{x}\sec^{2}(x)\right] + [\sec(x) + x\sin(x)\sec^{2}(x)] + 0 \\[4pt] &= 6x^{2}\sin(x) + 2x^{3}\cos(x) - \frac{1}{x^{2}}\tan(x) + \frac{1}{x}\sec^{2}(x) + \sec(x) + x\sin(x)\sec^{2}(x) \end{aligned} \]Pregunta
La curva \(C\) se describe mediante \(0.25x^{2} + y^{2} = 9\). Determina las coordenadas \(y\) de los puntos en \(C\) donde las rectas tangentes tienen pendiente \(1\).
Solución
Diferenciación implícita:
\[ 0.5x + 2y y' = 0 \Rightarrow y' = -\frac{0.5x}{2y} = -\frac{x}{4y} \]Establece \(y' = 1\):
\[ -\frac{x}{4y} = 1 \Rightarrow x = -4y \]Sustituye en la ecuación original:
\[ 0.25(-4y)^{2} + y^{2} = 9 \Rightarrow 4y^{2} + y^{2} = 9 \Rightarrow 5y^{2} = 9 \Rightarrow y = \pm\frac{3\sqrt{5}}{5} \]
Pregunta
Resuelve la ecuación diferencial:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{y^{2}}, \quad y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \]Solución
Separa variables:
\[ y^{2} \, dy = \cos x \, dx \]Integra ambos lados:
\[ \int y^{2} \, dy = \int \cos x \, dx \Rightarrow \frac{1}{3}y^{3} = \sin x + C \]Aplica la condición inicial \(y(\pi/2) = 0\):
\[ \frac{1}{3}(0)^{3} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + C \Rightarrow 0 = 1 + C \Rightarrow C = -1 \]Resuelve para \(y\):
\[ \frac{1}{3}y^{3} = \sin x - 1 \Rightarrow y^{3} = 3(\sin x - 1) \Rightarrow y = \sqrt[3]{3\sin x - 3} \]Pregunta
Evalúa:
\[ \int \sin^{4} x \cos x \, dx \]Solución
Usa la sustitución \(u = \sin x\), \(du = \cos x \, dx\):
\[ \int \sin^{4} x \cos x \, dx = \int u^{4} \, du = \frac{1}{5}u^{5} + C = \frac{1}{5}\sin^{5} x + C \]Pregunta
Encuentra:
\[ \frac{d}{dx} \int_{3}^{2x} \sin(t^{2} + 1) \, dt \]Solución
Aplica el Teorema Fundamental del Cálculo con la regla de la cadena:
\[ \frac{d}{dx} \int_{3}^{2x} \sin(t^{2} + 1) \, dt = \sin((2x)^{2} + 1) \cdot \frac{d}{dx}(2x) = 2\sin(4x^{2} + 1) \]Pregunta
Evalúa:
\[ \int_{0}^{10} \left(|4 - x| + |2 - 2x|\right) \, dx \]Solución
Divide en los puntos donde las expresiones cambian de signo: \(x = 4\) para \(|4-x|\) y \(x=1\) para \(|2-2x|\):
\[ \begin{aligned} \int_{0}^{10} |4-x| \, dx &= \int_{0}^{4} (4-x) \, dx + \int_{4}^{10} (x-4) \, dx = 8 + 18 = 26 \\[4pt] \int_{0}^{10} |2-2x| \, dx &= \int_{0}^{1} (2-2x) \, dx + \int_{1}^{10} (2x-2) \, dx = 1 + 81 = 82 \end{aligned} \]Suma los resultados:
\[ 26 + 82 = 108 \]Pregunta
Evalúa:
\[ \int \frac{(5 + x^{3/4})^{9}}{x^{1/4}} \, dx \]Solución
Usa la sustitución \(u = 5 + x^{3/4}\), \(du = \frac{3}{4}x^{-1/4} \, dx\):
\[ \int \frac{(5 + x^{3/4})^{9}}{x^{1/4}} \, dx = \frac{4}{3} \int u^{9} \, du = \frac{4}{3} \cdot \frac{u^{10}}{10} + C = \frac{2}{15}(5 + x^{3/4})^{10} + C \]Pregunta
Dado \(h(x) = [\arctan(x^{3} + 1) + 2x]^{4}\), encuentra \(h'(x)\).
Solución
Aplica la regla de la cadena:
\[ \begin{aligned} h'(x) &= 4[\arctan(x^{3}+1) + 2x]^{3} \cdot \frac{d}{dx}[\arctan(x^{3}+1) + 2x] \\ &= 4[\arctan(x^{3}+1) + 2x]^{3} \cdot \left[ \frac{3x^{2}}{1 + (x^{3}+1)^{2}} + 2 \right] \\ &= 4[\arctan(x^{3}+1) + 2x]^{3} \cdot \frac{3x^{2} + 2(x^{6} + 2x^{3} + 2)}{x^{6} + 2x^{3} + 2} \end{aligned} \]Pregunta
La gráfica de la función \(h\) se muestra. ¿Cuántos ceros tiene \(h'\)?
Solución
\(h'(x) = 0\) en los extremos locales. La gráfica muestra 3 mínimos locales y 2 máximos locales, por lo tanto \(h'\) tiene 5 ceros.
Pregunta
La gráfica del polinomio \(f\) se muestra. Si \(f'\) es su derivada, el resto de \(f'(x) \div (x-b)\) es:
Solución
Dado que \(f\) tiene un máximo local en \(x = b\), \(f'(b) = 0\). Por el Teorema del Resto, el resto cuando \(f'(x)\) se divide entre \((x-b)\) es \(f'(b) = 0\).
Pregunta
El conjunto de todos los puntos \((\ln(t-2), 3t)\), \(t > 2\), es la gráfica de:
Solución
De las ecuaciones paramétricas: \(x = \ln(t-2)\), \(y = 3t\). Resuelve para \(t\) a partir de \(y\): \(t = y/3\). Sustituye en \(x\):
\[ x = \ln\left(\frac{y}{3} - 2\right) \Rightarrow e^{x} = \frac{y}{3} - 2 \Rightarrow y = 3(e^{x} + 2) \]Pregunta
Sea \(P(x) = 2x^{3} + Kx + 1\). Encuentra \(K\) si el resto de \(P(x) \div (x-2)\) es 10.
Solución
Por el Teorema del Resto: \(P(2) = 10\):
\[ 2(2)^{3} + K(2) + 1 = 10 \Rightarrow 16 + 2K + 1 = 10 \Rightarrow 2K = -7 \Rightarrow K = -\frac{7}{2} \]Pregunta
La función \(f\) está definida por:
\[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{4x+4} - \sqrt{2x+4}}{2x}, & x \neq 0 \\[6pt] C, & x = 0 \end{cases} \]Encuentra \(C\) para la continuidad en \(x=0\).
Solución
Racionaliza el numerador:
\[ \begin{aligned} \lim_{x \to 0} f(x) &= \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{4x+4} - \sqrt{2x+4})(\sqrt{4x+4} + \sqrt{2x+4})}{2x(\sqrt{4x+4} + \sqrt{2x+4})} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{(4x+4) - (2x+4)}{2x(\sqrt{4x+4} + \sqrt{2x+4})} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{2x}{2x(\sqrt{4x+4} + \sqrt{2x+4})} = \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{4}} = \frac{1}{4} \end{aligned} \]Para la continuidad, \(C = \frac{1}{4}\).
Pregunta
Las funciones satisfacen \(f'(x) = g(x)\) y \(g'(x) = f(x)\). La segunda derivada de \((f \cdot g)(x)\) es:
Solución
Primera derivada:
\[ (f \cdot g)' = f'g + fg' = g^{2} + f^{2} \]Segunda derivada:
\[ (f \cdot g)'' = 2gg' + 2ff' = 2gf + 2fg = 4fg \]Pregunta
Encuentra la tasa de cambio promedio de \(f(x) = \sin x + x\) en \([0, \pi]\).
Solución
Fórmula de la tasa de cambio promedio:
\[ \frac{f(\pi) - f(0)}{\pi - 0} = \frac{(\sin\pi + \pi) - (\sin 0 + 0)}{\pi} = \frac{\pi}{\pi} = 1 \]Pregunta
Encuentra el área de la región sombreada entre \(y = \sin x\) y \(y = \frac{1}{2}\) en \([0, \pi]\).
Solución
Puntos de intersección: \(\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\). Área:
\[ \begin{aligned} A &= \int_{0}^{\pi/6} \sin x \, dx + \int_{\pi/6}^{5\pi/6} \frac{1}{2} \, dx + \int_{5\pi/6}^{\pi} \sin x \, dx \\ &= [-\cos x]_{0}^{\pi/6} + \frac{1}{2}\left(\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6}\right) + [-\cos x]_{5\pi/6}^{\pi} \\ &= \left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + 1\right) + \frac{\pi}{3} + \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2 + \frac{\pi}{3} - \sqrt{3} \end{aligned} \]Pregunta
Dado \(g(x) = f(x^{2})\), \(f(x) = h(x^{3}+1)\), y \(h'(x) = 2x+1\), encuentra \(g'(x)\).
Solución
Combina funciones:
\[ g(x) = f(x^{2}) = h((x^{2})^{3} + 1) = h(x^{6} + 1) \]Aplica la regla de la cadena:
\[ g'(x) = h'(x^{6}+1) \cdot 6x^{5} = [2(x^{6}+1) + 1] \cdot 6x^{5} = 12x^{11} + 18x^{5} \]