Esta página demuestra cómo usar la derivación para probar la importante identidad trigonométrica: \[ \arcsin(x) + \arccos(x) = \dfrac{\pi}{2} \] para todos los valores de \( x \) en el dominio \([-1, 1]\).
Resumen del Método
Para demostrar esta identidad, definimos una función auxiliar: \[ f(x) = \arcsin(x) + \arccos(x) \] Mostraremos que \( f(x) \) es constante en todo su dominio calculando su primera derivada y demostrando que es igual a cero en todas partes en el intervalo abierto \((-1, 1)\).
Demostración Paso a Paso
Paso 1: Calcular la Primera Derivada
Recuerda las fórmulas de derivadas estándar para el arcoseno y el arcocoseno:
- \( \dfrac{d}{dx}[\arcsin(x)] = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)
- \( \dfrac{d}{dx}[\arccos(x)] = -\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)
Derivando \( f(x) \) término por término se obtiene: \[ f'(x) = \dfrac{d}{dx}[\arcsin(x)] + \dfrac{d}{dx}[\arccos(x)] = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} - \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = 0 \]
Paso 2: Establecer que la Función es Constante
Dado que \( f'(x) = 0 \) para todo \( x \in (-1, 1) \), se sigue del Teorema del Valor Medio (o de las propiedades de las funciones constantes) que \( f(x) \) debe ser un valor constante, digamos \( C \), en todo el intervalo. Por continuidad, esta constancia se extiende a los extremos cerrados \([-1, 1]\).
Paso 3: Evaluar en un Punto Específico
Para determinar el valor exacto de esta constante \( C \), evaluamos \( f(x) \) en un punto fácilmente computable dentro del dominio. Elegimos \( x = 0 \): \[ f(0) = \arcsin(0) + \arccos(0) \] Como \( \arcsin(0) = 0 \) y \( \arccos(0) = \dfrac{\pi}{2} \): \[ f(0) = 0 + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} \]
Resultado Final
Debido a que \( f(x) \) es una función constante igual a \( \dfrac{\pi}{2} \) en todo su dominio, concluimos que: \[ \arcsin(x) + \arccos(x) = \dfrac{\pi}{2} \] para todo \( x \in [-1, 1] \).