Aprende a identificar números críticos de varios tipos de funciones —incluyendo polinomios, valores absolutos, expresiones racionales y radicales— utilizando derivadas.
Definición de Números Críticos
Un número \( a \) en el dominio de una función \( f \) se llama número crítico de \( f \) si se cumple que:
Ejemplos Paso a Paso
Ejemplo 1: Función polinómica \( f(x) = x^{3} - 3x + 5 \)
El dominio de \( f \) es todos los números reales. Su derivada es:
\[ f'(x) = 3x^{2} - 3. \]Como \( f' \) está definida en todas partes, resolvemos \( f'(x) = 0 \):
\[ 3x^{2} - 3 = 0 \implies x^{2} = 1 \implies x = \pm 1. \]Tanto \( x = 1 \) como \( x = -1 \) se encuentran en el dominio, por lo que son números críticos.
Ejemplo 2: Función de valor absoluto \( f(x) = |x - 2| \)
El dominio es todos los números reales. Dado que \( |u| = \sqrt{u^{2}} \) donde \( u = x - 2 \), reescribimos \( f \) como:
\[ f(x) = \sqrt{(x - 2)^{2}}. \]Usando la regla de la cadena, la derivada es:
\[ f'(x) = \dfrac{(x - 2)}{|x - 2|}. \]Nótese que \( f' \) no está definida en \( x = 2 \). Como \( 2 \) está en el dominio, es un número crítico.
Ejemplo 3: Análisis gráfico de la derivada
Encuentra los números críticos de una función \( f \) cuya derivada \( f' \) se muestra gráficamente a continuación.
Los números críticos son \( x = 1, -2, -3 \) donde \( f'(x) = 0 \), y \( x = 0 \) donde \( f' \) no está definida.
Ejemplo 4: Función racional \( f(x) = \dfrac{x^{2} + 7}{x + 3} \)
El dominio es todos los números reales excepto \( x = -3 \). Usando la regla del cociente, la derivada es:
\[ f'(x) = \dfrac{2x(x + 3) - (x^{2} + 7)(1)}{(x + 3)^2} = \dfrac{x^{2} + 6x - 7}{(x + 3)^2}. \]Igualando el numerador a cero:
\[ x^{2} + 6x - 7 = 0 \implies (x + 7)(x - 1) = 0 \implies x = -7 \text{ o } x = 1. \]Aunque \( f' \) no está definida en \( x = -3 \), \( -3 \) no está en el dominio, por lo que no es un número crítico. Por lo tanto, los números críticos son \( x = -7 \) y \( x = 1 \).
Ejemplo 5: Función radical \( f(x) = (x - 2)^{\dfrac{2}{3}} + 3 \)
El dominio es todos los números reales. Su derivada es:
\[ f'(x) = \dfrac{2}{3}(x - 2)^{-\dfrac{1}{3}} = \dfrac{2}{3(x - 2)^{\dfrac{1}{3}}}. \]La derivada no está definida en \( x = 2 \), el cual se encuentra en el dominio. Por lo tanto, \( x = 2 \) es un número crítico.
Ejercicios sobre Números Críticos
Encuentra los números críticos de las siguientes funciones:
- \( f(x) = 2x^{3} - 6x - 13 \)
- \( f(x) = |x + 4| + 3 \)
- \( f(x) = (x - 3)^{3} - 5 \)
- \( f(x) = x^{\dfrac{1}{3}} + 2 \)
- \( f(x) = \dfrac{x}{x + 4} \)
Respuestas a los Ejercicios
- \( 1, -1 \)
- \( -4 \)
- \( 3 \)
- \( 0 \)
- Ningún número crítico