Se presentan y discuten teoremas relacionados con la continuidad de funciones y sus aplicaciones en cálculo con ejemplos.
Teorema 1
Todas las funciones polinómicas y las funciones \( \sin x \), \( \cos x \), \( \arctan x \) y \( e^x \) son continuas en el intervalo \( (-\infty, +\infty) \).
Ejemplo: Evaluar límites usando la continuidad
Evalúa los siguientes límites:
- \( \lim_{x\to 0} \sin (x) \)
- \( \lim_{x\to\pi} \cos (x) \)
- \( \lim_{x\to -1} \arctan(x) \)
Solución:
Si la función \( f \) es continua en \( x = a \), entonces \( \lim_{x\to a} f(x) = f(a) \).
- Como \( \sin(x) \) es continua: \( \lim_{x\to 0} \sin (x) = \sin(0) = 0 \)
- Como \( \cos(x) \) es continua: \( \lim_{x\to\pi} \cos (x) = \cos(\pi) = -1 \)
- Como \( \arctan(x) \) es continua: \( \lim_{x\to -1} \arctan(x) = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4} \)
Teorema 2
Si las funciones \( f \) y \( g \) son continuas en \( x = a \), entonces:
- A. \( (f + g) \) es continua en \( x = a \).
- B. \( (f - g) \) es continua en \( x = a \).
- C. \( (f \cdot g) \) es continua en \( x = a \).
- D. \( (f / g) \) es continua en \( x = a \) si \( g(a) \neq 0 \). (Si \( g(a) = 0 \), entonces \( (f / g) \) es discontinua en \( x = a \)).
Ejemplo: Continuidad de combinaciones algebraicas
Sean \( f(x) = \sin x \) y \( g(x) = \cos x \). ¿En qué intervalos son continuas las funciones \( (f + g) \), \( (f - g) \), \( (f \cdot g) \) y \( (f / g) \)?
Solución:
Como tanto \( \sin x \) como \( \cos x \) son continuas en todas partes, según el Teorema 2, \( (f + g) \), \( (f - g) \) y \( (f \cdot g) \) son continuas en todas partes.
Sin embargo, \( (f / g) \) es continua en todas partes excepto en los valores de \( x \) que hacen que el denominador \( g(x) = 0 \). Estos valores se encuentran resolviendo:
\[ \cos x = 0 \]Los valores que hacen que \( \cos x = 0 \) son:
\[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{donde } k \text{ es cualquier entero.} \]Por lo tanto, \( (f / g) \) es continua en todas partes excepto en \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \).
Teorema 3
Una función racional es continua en todas partes excepto en los valores de \( x \) que hacen que el denominador de la función sea igual a cero.
Ejemplo: Encontrar puntos de discontinuidad
Encuentra los valores de \( x \) en los cuales la función \( f \) es discontinua:
\[ f(x) = \frac{x - 2}{(2x^2 + 2x - 4)(x^4 + 5)} \]Solución:
El denominador de \( f \) es el producto de dos términos:
\[ (2x^2 + 2x - 4)(x^4 + 5) \]El término \( x^4 + 5 \) es siempre positivo, por lo tanto nunca es igual a cero. Ahora hallamos los ceros de \( 2x^2 + 2x - 4 \) resolviendo:
\[ 2x^2 + 2x - 4 = 0 \]Dividir entre 2 da \( x^2 + x - 2 = 0 \), lo cual se factoriza como \( (x - 1)(x + 2) = 0 \).
Las soluciones son \( x = 1 \) y \( x = -2 \).
Por lo tanto, la función \( f \) es discontinua en \( x = 1 \) y \( x = -2 \).
Teorema 4
Si \( \lim_{x\to a} g(x) = L \) y si \( f \) es una función continua en \( x = L \), entonces:
\[ \lim_{x\to a} f(g(x)) = f\left(\lim_{x\to a} g(x)\right) = f(L) \]Ejemplo: Evaluar límites compuestos
Evalúa el límite:
\[ \lim_{x\to a} \sin(2x + 5) \]Solución:
\( \sin x \) es continua en todas partes y \( 2x + 5 \) es un polinomio (continuo en todas partes). Por lo tanto:
\[ \lim_{x\to a} \sin(2x + 5) = \sin\left(\lim_{x\to a}(2x + 5)\right) = \sin(2a + 5) \]Teorema 5
Si \( g \) es una función continua en \( x = a \) y la función \( f \) es continua en \( g(a) \), entonces la función compuesta \( f \circ g \) es continua en \( x = a \).
Ejemplo: Demostrar la continuidad de composiciones exponenciales
Muestra que cualquier función de la forma \( e^{ax + b} \) es continua en todas partes, donde \( a \) y \( b \) son números reales.
Solución:
La función exponencial \( f(x) = e^x \) y la función lineal \( g(x) = ax + b \) son continuas en todas partes. Por lo tanto, su composición \( f(g(x)) = e^{ax + b} \) también es continua en todas partes.