Presentamos una introducción y la definición del concepto de funciones continuas en cálculo con ejemplos. Asimismo, se analizan los teoremas de continuidad y su uso en cálculo.
Introducción y Definición de Funciones Continuas
Comenzamos primero con las gráficas de varias funciones continuas. Las funciones cuyas gráficas se muestran a continuación se denominan continuas ya que estas gráficas no tienen "cortes", "brechas" o "agujeros".
Ahora presentamos ejemplos de funciones discontinuas. Estas gráficas tienen cortes, brechas o puntos en los que no están definidas.
Caso 1: Indefinida en un punto (Agujero)
En la gráfica de abajo, la función no está definida en \( x = 2 \). La gráfica tiene un agujero en \( x = 2 \) y se dice que la función es discontinua.
Caso 2: Los límites por la izquierda y por la derecha no coinciden
En la gráfica de abajo, los límites de la función por la izquierda y por la derecha no son iguales y, por lo tanto, el límite en \( x = 3 \) no existe. Se dice que la función es discontinua.
Caso 3: El límite no es igual al valor de la función
El límite de la función en \( x = 2 \) existe, pero no es igual al valor de la función en \( x = 2 \). Esta función también es discontinua.
Caso 4: Asíntota vertical (El límite no existe)
El límite de la función en \( x = 3 \) no existe ya que a la izquierda y a la derecha de 3 la función aumenta o disminuye indefinidamente. Esta función también es discontinua.
Tomando en consideración toda la información recopilada de los ejemplos de funciones continuas y discontinuas mostrados anteriormente, definimos una función continua de la siguiente manera:
Una función \( f \) es continua en un punto \( a \) si se satisfacen las tres condiciones siguientes:
- 1. \( f(a) \) está definida
- 2. \( \lim_{x\to a} f(x) \) existe
- 3. \( \lim_{x\to a} f(x) = f(a) \)
Ejemplos con Soluciones
Ejemplo 1: Discontinuidad debido a la división por cero
Muestra que la función \( f \) definida a continuación no es continua en \( x = -2 \):
\[ f(x) = \frac{1}{x + 2} \]Solución:
\( f(-2) \) no está definida (la división por 0 no está permitida); por lo tanto, la función \( f \) es discontinua en \( x = -2 \).
Ejemplo 2: Continuidad de una función racional
Muestra que la función \( f \) es continua para todos los valores de \( x \) en \( \mathbb{R} \):
\[ f(x) = \frac{1}{x^4 + 6} \]Solución:
La función \( f \) está definida para todos los valores de \( x \) en \( \mathbb{R} \). El límite de \( f \) en cualquier punto \( x = a \) está dado por el cociente de dos límites: la constante 1 y el límite de \( x^4 + 6 \), que es una función polinómica cuyo límite es \( a^4 + 6 \). Por lo tanto:
\[ \lim_{x\to a} f(x) = \frac{1}{a^4 + 6} \]Como \( f(a) = \frac{1}{a^4 + 6} \), tenemos:
\[ \lim_{x\to a} f(x) = f(a) \]Se satisfacen las tres condiciones de continuidad y, por lo tanto, \( f \) es continua para todos los valores de \( x \) en \( \mathbb{R} \).
Ejemplo 3: Continuidad de una función de valor absoluto
Muestra que la función \( f \) es continua para todos los valores de \( x \) en \( \mathbb{R} \):
\[ f(x) = |x - 5| \]Solución:
Escribamos \( f(x) \) a trozos (por partes):
- \( f(x) = x - 5 \) si \( x > 5 \)
- \( f(x) = -(x - 5) \) si \( x < 5 \)
- \( f(x) = 0 \) si \( x = 5 \)
\( f(x) \) está dada por las funciones polinómicas \( x - 5 \) y \( -(x - 5) \) para \( x > 5 \) y \( x < 5 \) respectivamente, y por lo tanto \( f(x) \) es continua para estos valores de \( x \).
Ahora verificamos el punto \( x = 5 \). Consideremos los límites cuando \( x \) se aproxima a \( 5 \) por la izquierda (\( x < 5 \)):
\[ \lim_{x\to 5^{-}} f(x) = \lim_{x\to 5^{-}} -(x - 5) = 0 \]Consideremos los límites cuando \( x \) se aproxima a \( 5 \) por la derecha (\( x > 5 \)):
\[ \lim_{x\to 5^{+}} f(x) = \lim_{x\to 5^{+}} (x - 5) = 0 \]Dado que los límites laterales son iguales, el límite \( \lim_{x\to 5} f(x) \) existe y es igual a 0. Así, \( \lim_{x\to 5} f(x) = 0 = f(5) \), y la función \( f \) es continua en \( x = 5 \). Combinado con los intervalos anteriores, \( f \) es continua para todos los valores de \( x \) en \( \mathbb{R} \).