Se presentan preguntas sobre la diferenciabilidad de funciones con énfasis en funciones a trozos, junto con sus respuestas.
Significado Gráfico de la No Diferenciabilidad
¿Qué funciones no son diferenciables?
Sea \( f \) una función cuya gráfica es \( G \). A partir de la definición, el valor de la derivada de una función \( f \) en un cierto valor de \( x \) es igual a la pendiente de la recta tangente a la gráfica \( G \). Podemos decir que \( f \) no es diferenciable para cualquier valor de \( x \) donde una tangente no puede existir, o donde existe una tangente pero es vertical (una línea vertical tiene una pendiente indefinida y, por lo tanto, una derivada indefinida).
A continuación se muestran gráficas de funciones que no son diferenciables en \( x = 0 \) por diversas razones:
Ejemplo 1: Esquina Afilada (Sin Tangente)
La función \( f \) de abajo no es diferenciable en \( x = 0 \) porque no hay una tangente única en la gráfica en \( x = 0 \) (¡intenta trazar una tangente en \( x = 0 \)!)
Ejemplo 2: Cúspide / Punto Afilado
La función \( g \) de abajo no es diferenciable en \( x = 0 \) porque no hay tangente en la gráfica en \( x = 0 \).
Ejemplo 3: Discontinuidad de Salto
La función \( h \) de abajo no es diferenciable en \( x = 0 \) porque hay un salto en el valor de la función, y la función no es continua en \( x = 0 \).
Ejemplo 4: Asíntota Vertical
La función \( j \) de abajo no es diferenciable en \( x = 0 \) porque aumenta indefinidamente (sin límite) a cada lado de \( x = 0 \), y según su fórmula no está definida y, por lo tanto, es discontinua en \( x = 0 \).
Ejemplo 5: Tangente Vertical
La función \( k \) de abajo no es diferenciable porque la tangente en \( x = 0 \) es vertical y, por lo tanto, su pendiente (el valor de la derivada en \( x = 0 \)) no está definida.
Teorema
Teorema: Si una función \( f \) es diferenciable en \( x = a \), entonces es continua en \( x = a \).
Contrapositivo del teorema: Si la función \( f \) no es continua en \( x = a \), entonces no es diferenciable en \( x = a \).
Errores comunes a evitar: Si \( f \) es continua en \( x = a \), esto no significa necesariamente que \( f \) sea diferenciable en \( x = a \).
NOTA: Aunque las funciones \( f \), \( g \) y \( k \) (cuyas gráficas se muestran arriba) son continuas en todas partes, no son diferenciables en \( x = 0 \).
Ejemplos con Soluciones
Pruebas Analíticas de No Diferenciabilidad
Ejemplo 1: No Diferenciabilidad de una Función a Trozos
Problema: Muestra analíticamente que la función \( f \) definida a continuación no es diferenciable en \( x = 0 \):
\[ f(x) = \begin{cases} x^2 & x > 0 \\ -x & x < 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases} \]Solución:
Una forma de responder a la pregunta es calcular la derivada en \( x = 0 \) utilizando el límite del cociente de diferencias. Como la función \( f \) está definida mediante diferentes fórmulas, necesitamos evaluar la derivada utilizando límites por la izquierda y por la derecha:
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]A la izquierda de \( x = 0 \) (\( x < 0 \)), la derivada se calcula de la siguiente manera:
\[ f'(0) = \lim_{h\to 0^{\mathbf{-}}} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h\to 0^-} \frac{-h - 0}{h} = -1 \]A la derecha de \( x = 0 \) (\( x > 0 \)), la derivada se calcula de la siguiente manera:
\[ f'(0) = \lim_{h\to 0^{\mathbf{+}}} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h\to 0^+} \frac{h^2 - 0}{h} = \lim_{h\to 0^+} h = 0 \]Los límites por la izquierda y por la derecha de \( x = 0 \) no son iguales (\(-1 \neq 0\)) y, por lo tanto, \( f'(0) \) no está definido. Por lo tanto, la función \( f \) no es diferenciable en \( x = 0 \).
La gráfica de la función \( f \) se muestra a continuación, donde queda claro que no se puede trazar una tangente única en \( x = 0 \):